Question

（19分）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求

（1）粒子a射入区域I时速度的大小；
（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为R_a1，粒子速率为v_a，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为，如图。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得

         （1）
由几何关系得           （2）
           （3）
式中
由（1）（2）（3）式得
                        （4）
（2）设粒子在II区内做圆周运动的的圆心为，半径为，射出点为（图中末画出轨迹）

由洛仑兹力分式和牛顿第二定律得
                   （5）
由（1）（5）式得：           （6）
C，和三点共线，且由（6）式知必位于
          （7）
的平面上，由对称性知 纵坐标相同，即
                  （8）
式中h是C点的Y坐标
设b在I中运动的轨道半径为，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得
 （9）
设a到达点时，b位于点，转过的角度为α。如果b没有飞出I，则
 （10）
 （11）
式中，t是a在区域II中运动的时间，而
 （12）
 （13）
由⑤⑨⑩（11）（12）（13）式得
 （14）
由①③⑨（14）式可见，b没有飞出I。点的y坐标为
 （15）
由（1）（3）（8）（9）（14）（15）式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为
 （16）