题目内容

【题目】如图甲所示,粗糙水平面与竖直的光滑半圆环在N点相切,M为圈环的最高点,圆环半径为R=0.1m,现有一质量m=1kg的物体以v0=4m/s的初速度从水平面的某点向右运动并冲上竖直光滑半圆环,取g=10m/s2,求:

1)物体能从M点飞出,落到水平面时落点到N点的距离的最小值Xm

2)设出发点到N点的距离为S,物体从M点飞出后,落到水平面时落点到N点的距离为X,作出X2S变化的关系如图乙所示,求物体与水平面间的动摩擦因数μ

3)要使物体从某点出发后的运动过程中不会在NM点的中间离开半固轨道,求出发点到N点的距离S应满足的条件

【答案】10.2m;(20.2;(30x2.75m3.5mx4m

【解析】

1)由牛顿第二定律求得在M点的速度范围,然后由平抛运动规律求得水平位移,即可得到最小值;

2)根据动能定理得到M点速度和x的关系,然后由平抛运动规律得到yM点速度的关系,即可得到yx的关系,结合图象求解;

3)根据物体不脱离轨道得到运动过程,然后由动能定理求解.

1)物体能从M点飞出,那么对物体在M点应用牛顿第二定律可得:mg,所以,vM1m/s
物体能从M点飞出做平抛运动,故有:2Rgt2,落到水平面时落点到N点的距离xvMt2R0.2m
故落到水平面时落点到N点的距离的最小值为0.2m
2)物体从出发点到M的运动过程作用摩擦力、重力做功,故由动能定理可得:μmgx2mgRmvM2mv02
物体从M点落回水平面做平抛运动,故有:2Rgt2
由图可得:y2=0.48-0.16x,所以,μ0.2
3)要使物体从某点出发后的运动过程中不会在NM点的中间离开半圆轨道,那么物体能到达的最大高度0h≤R或物体能通过M点;
物体能到达的最大高度0h≤R时,由动能定理可得:μmgxmgh0mv02

所以,

所以,3.5m≤x4m
物体能通过M点时,由(1)可知vM1m/s

由动能定理可得:μmgx2mgRmvM2mv02
所以

所以,0≤x≤2.75m

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