Question

17．如图所示，位于竖直平面内的轨道由一段倾角为37°的粗糙斜轨道和半径为0.4m的光滑半圆形轨道连接而成，一质量为0.2kg的小球从斜面上某处由静止开始下滑，小球和斜轨道间动摩擦因数为0.375，小球通过轨道最低点时无能量损失，运动到半圆轨道的最高点时对轨道的压力大小为6N，g取10m/s²，求：
（1）小球在斜面上开始释放的位置距半圆形轨道最低点的高度．
（2）小球离开半圆形轨道最高点后第一次到达斜面时的速度大小．

Answer 1

分析 （1）在圆形轨道最高点，由重力和轨道的压力的合力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出小球通过最高点时的速度，由动能定理可以求出高度．
（2）小球离开半圆形轨道最高点后做平抛运动，由运动学公式和几何关系结合可以求出运动时间，再根据速度的合成求解．

解答 解：（1）在圆形轨道最高点，小球所受合力提供圆周运动向心力有：
$mg+N=m\frac{{v}^{2}}{r}$
可得v=$\sqrt{gr+\frac{Nr}{m}}=\sqrt{10×0.4+\frac{6×0.4}{0.2}}m/s=4m/s$
小球沿斜面释放至圆形轨道最高点时根据动能定理得：
$mg（h-2r）-μmg\frac{h}{sinθ}cosθ=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
代入数据可得h=3.2m；
（2）小球离开圆形轨道后做平抛运动，则有
x=vt
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由几何关系：$tanθ=\frac{2r-y}{x}$
解得：5t²+3t-0.8=0
得t=0.2s
到达斜面时竖直分速度为 v_y=gt=2m/s
到达斜面的速度大小为 ${v}_{t}=\sqrt{{v}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{5}m/s≈4.5m/s$
答：（1）小球在斜面上开始释放的位置距半圆形轨道最低点的高度为3.2m；
（2）小球离开半圆形轨道最高点后第一次到达斜面时的速度大小为4.5m/s．

点评 分析清楚物体的运动过程，应用动能定理、运动学公式、牛顿第二定律即可正确解题；解题时关键要注意几何知识的应用．