Question

2．如图甲所示，竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场（上、下及左侧无边界）．一个质量为m、电荷量为q，可视为质点的带正电小球，以水平初速度v₀沿PQ向右做直线运动．若小球刚经过D点时（t=0），在电场所在空间叠加如图乙所示随时间周期性变化、垂直纸面向里的匀强磁场，使得小球再次通过D点时与PQ连线成60°角．已知D、Q间的距离为（$\sqrt{3}$+1）L，t₀小于小球在磁场中做圆周运动的周期，忽略磁场变化造成的影响，重力加速度为g．求：

（1）电场强度E的大小；
（2）t₀与t₁的比值；
（3）小球过D点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B₀及运动的最大周期T_m的大小，并在图中画出此情形下小球运动一个周期的轨迹．

Answer 1

分析 （1）根据电场力与重力，二力平衡，即可求解；
（2）根据小球做匀速圆周运动的周期与半径公式，结合几何关系，即可求解；
（3）根据几何关系，由牛顿第二定律，即可求解．

解答 解：（1）小球在电场中做匀速直线运动，根据二力平衡，则有：mg=qE；
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球能再次通过D点，其运动轨迹如图1所示，设圆弧半径为r；
则有：s=v₀t；
由几何关系，有s=$\frac{r}{tan30°}$；
设小球做圆周运动的周期为T，则：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$；
t₀=$\frac{2}{3}T$；
由以上式联立可解得：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}π$；
（3）当小球运动的周期最大时，其运动轨迹应与MN相切，如图2所示，
由几何关系，则有：R+$\frac{R}{tan30°}=（\sqrt{3}+1）L$；
由牛顿第二定律，则有：qv₀B=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
解得：B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；
最大周期  ${T}_{m}=\frac{s}{{v}_{0}}=\frac{（4π+6\sqrt{3}）L}{{v}_{0}}$
小球运动一个周期的轨迹，如图3所示，

答：（1）电场强度E的大小$\frac{mg}{q}$；
（2）t₀与t₁的比值：$\frac{{t}_{0}}{{t}_{1}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}π$；
（3）小球过D点后将做周期性运动．则当小球运动的周期最大时，求出此时的磁感应强度B₀的大小B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$；运动的最大周期T_m的大小$\frac{（4π+6\sqrt{3}）L}{{v}_{0}}$，小球运动一个周期的轨迹如上图所示．

点评 考查粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，掌握牛顿第二定律的应用，注意几何关系的正确建立，理解二力平衡条件．