Question

20．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A点位于B、C之间，A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态，现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性的．

Answer 1

分析 该题中A与C的碰撞过程以及A与B的碰撞的过程都是弹性碰撞，将动量守恒定律与机械能守恒定律相结合即可正确解答．

解答 解：A向右运动与C发生碰撞的过程中系统的动量守恒、机械能守恒，选取向右为正方向，设开始时A的速度为v₀，第一次与C碰撞后C的速度为v_C1，A的速度为v_A1．由动量守恒定律、机械能守恒定律得：
mv₀=mv_A1+Mv_C1    ①
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{A1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{C1}^{2}$  ②
联立①②得：v_A1=$\frac{m-M}{m+M}{v}_{0}$  ③
v_C1=$\frac{2m}{m+M}{v}_{0}$  ④
可知，只有m＜M时，A才能被反向弹回，才可能与B发生碰撞．
A与B碰撞后B的速度为v_B1，A的速度为v_A2．由动量守恒定律、机械能守恒定律，同理可得：
v_A2=$\frac{m-M}{m+M}{v}_{A1}$=$（\frac{m-M}{m+M}）^{2}{v}_{0}$   ⑤
根据题意要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有：v_A2≤v_C1 ⑥
联立④⑤⑥得：m²+4mM-M²≥0
解得：$m≥（\sqrt{5}-2）M$，（另一解：$m≤-（\sqrt{5}+2）M$舍去）所以m与M之间的关系应满足：
$M＞m≥（\sqrt{5}-2）M$
答：m和M之间应满足$M＞m≥（\sqrt{5}-2）M$，才能使A只与B、C各发生一次碰撞．

点评 本题考查了水平方向的动量守恒定律问题，分析清楚物体运动过程、应用动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．