题目内容
如图，从阴极K发射的热电子，重力和初速均不计，通过加速电场后，沿图示虚线垂直射入匀强磁场区，磁场区域足够长，宽度为L=2.5cm．已知加速电压为U=182V，磁感应强度B=9.1×10-4T，电子的电量e=1.6×10-19C，电子质量m=9.1×10-31kg．求：（1）电子在磁场中的运动半径R
（2）电子在磁场中运动的时间t（结果保留π）
（3）若加速电压大小可以改变，其他条件不变，为使电子在磁场中的运动时间最长，加速电压U应满足什么条件？
分析：（1）应用动能定理电子解出穿出电场时的速度．电子进入磁场后发生偏转，做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求解在磁场中的运动半径R．
（2）先根据圆周运动的知识求得电子在磁场中运动的周期T．画出轨迹，由几何知识求出电子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角θ，由t=
T求解在磁场中运动的时间t．
（3）为使电子在磁场中的运动时间最长，电子轨迹对应的圆心角必须最大，最大圆心角为180°，轨迹恰好与磁场右边界相切，求得轨迹半径，根据上题的结果即可求解．
（2）先根据圆周运动的知识求得电子在磁场中运动的周期T．画出轨迹，由几何知识求出电子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角θ，由t=
| θ |
| 2π |
（3）为使电子在磁场中的运动时间最长，电子轨迹对应的圆心角必须最大，最大圆心角为180°，轨迹恰好与磁场右边界相切，求得轨迹半径，根据上题的结果即可求解．
解答：
解：（1）加速电场中由动能定理得；
eU=
mv2-0
解得：v=
=
=8×106m/s
磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：
evB=
解得：R=
=
m=0.05m
（2）磁场中运动的周期 T=
=
s=
×10-7s
由几何关系 sinθ=
=
则 θ=30°
故电子在磁场中运动的时间为：t=
T=
=
×10-7s
（3）电子在磁场中的运动时间最长时，圆心角 θ=180°
当运动轨迹恰与磁场右界相切时，R=L=2.5cm=0.025m
依题意有R≤0.025m
由 R=
和v=
得：U=
代入解得：U≤45.5V
（1）电子在磁场中的运动半径R是0.05m．
（2）电子在磁场中运动的时间t是
×10-7s．
（3）为使电子在磁场中的运动时间最长，加速电压U应满足的条件是：U≤45.5V．
解：（1）加速电场中由动能定理得；eU=
| 1 |
| 2 |
解得：v=
|
|
磁场中做圆周运动，由牛顿第二定律得：
evB=
| mv2 |
| R |
解得：R=
| mv |
| eB |
| 9.1×10-31×8×106 |
| 1.6×10-19×9.1×10-4 |
（2）磁场中运动的周期 T=
| 2πR |
| v |
| 2π×0.05 |
| 8×106 |
| π |
| 8 |
由几何关系 sinθ=
| L |
| R |
| 1 |
| 2 |
则 θ=30°
故电子在磁场中运动的时间为：t=
| 30° |
| 360° |
| T |
| 12 |
| π |
| 96 |
（3）电子在磁场中的运动时间最长时，圆心角 θ=180°
当运动轨迹恰与磁场右界相切时，R=L=2.5cm=0.025m
依题意有R≤0.025m
由 R=
| mv |
| eB |
|
| eB2R2 |
| 2m |
代入解得：U≤45.5V
（1）电子在磁场中的运动半径R是0.05m．
（2）电子在磁场中运动的时间t是
| π |
| 96 |
（3）为使电子在磁场中的运动时间最长，加速电压U应满足的条件是：U≤45.5V．
点评：电子在匀强电场中运动的问题也可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解．
电子在匀强磁场中的运动问题，我们要从定圆心，找半径，画轨迹这些步骤入手，根据题意找出可能出现的情况去研究．其中圆周半径R是桥梁，一方面联系了m、v、B、q物理量，另一方面联系了图中的几何关系．
电子在匀强磁场中的运动问题，我们要从定圆心，找半径，画轨迹这些步骤入手，根据题意找出可能出现的情况去研究．其中圆周半径R是桥梁，一方面联系了m、v、B、q物理量，另一方面联系了图中的几何关系．
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