Question

如图所示，倾角为θ的斜面A点以上部分是光滑的，A点以下部分是粗糙的，动摩擦因数为μ=2tanθ．有N个相同的小木块沿斜面靠在一起（没有粘接），总长为L，而每一个小木块可以视为质点，质量均为m．现将它们由静止释放，释放时下端与A点距离为2L，求：
（1）第1个木块通过A点时的速度；
（2）第N个木块通过A点时的速度；
（3）从第1个木块到第N个木块通过A点时的最大速度．

Answer 1

（1）对N个木块由动能定理得
Nmg?2Lsinθ=

1

2

Nm

v

21

-0，
解得v1=2

gLsinθ

；
（2）木块过A点的位移为x时，摩擦力为f=μ

N

L

xmgcosθ，
故摩擦力正比于位移，可由平均力求摩擦力做功．
全部木块刚过A点时速度为v，则
Nmgsinθ?3L-

1

2

μNmgcosθ?L=

1

2

Nmv2-0
解得v=

4Lgsinθ

；
（3）令有n个木块过A点速度最大，则μnmgcosθ=Nmgsinθ
解得n=

N

2

，即一半木块过A点速度最大，
又

1

2

Nmv2=Nmg?

5

2

Lsinθ-

1

2

×

1

2

μNmgcosθ×

1

2

L
可解vm=

4.5Lgsinθ

答：（1）第1个木块通过A点时的速度为2

gLsinθ

；
（2）第N个木块通过A点时的速度为

4Lgsinθ

；
（3）从第1个木块到第N个木块通过A点时的最大速度为

4.5Lgsinθ