Question

8．如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在竖直平面内，两导轨间的距离为L，导轨间连接一个定值电阻，阻值为R，导轨上放一质量为m，电阻为r=$\frac{1}{2}$R的金属杆ab，金属杆始终与导轨连接良好，其余电阻不计，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场的方向垂直导轨平面向里．重力加速度为g，现让金属杆从虚线水平位置处由静止释放．
（1）求金属杆的最大速度v_m；
（2）若从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，金属杆下落的位移为x，经历的时间为t，为了求出电阻R上产生的焦耳热Q，某同学做了如下解答：
v=$\frac{x}{t}$①I=$\frac{BLv}{R+r}$②Q=I²Rt③
联立①②③式求解出Q．
请判断该同学的做法是否正确；若正确请说明理由，若不正确请写出正确解答．
（3）在金属杆达最大速度后继续下落的过程中，通过公式推导验证：在△t时间内，重力对金属杆所做的功W_G等于电路获得的电能W_电，也等于整个电路中产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）金属杆释放后受重力和向上的安培力，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减为零后做匀速直线运动，根据平衡条件、切割公式、欧姆定律公式和安培力公式列式求解；
（2）该同学的解答中，认为感应电流是恒定电流是错误的，应该利用功能关系列式求解；
（3）根据功的定义求解重力的功，根据切割公式、欧姆定律公式、安培力公式和电功率公式列式证明．

解答 解：（1）金属杆下落中受重力和支持力两个力作用，其运动满足：mg-BIL=ma，
其中I=$\frac{BLv}{r+R}$，
故$mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}=ma$，
金属杆做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大，故：
$mg-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R+r}=0$，
解得：v_m=$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）该同学的做法错误，正确做法如下：
从金属杆开始下落到刚好达到最大速度的过程中，由功能关系，有：
mgx-Q_总=$\frac{1}{2}m（\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}）^{2}$，
解得：Q_总=mgx-$\frac{9{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$，
故${Q_总}\frac{R}{R+r}=\frac{2}{3}（mgx-\frac{{9{m^3}{g^2}{R^2}}}{{8{B^4}{L^4}}}）$；
（3）电动势E=BLv，由于金属杆达到最大速度后做匀速直线运动，由平衡条件，有：G=F=BIL，
在△t时间内，重力对金属杆所做的功：W_G=Gv△t=Fv△t=BILv△t，
电路获得的电能：W_电=qE=EI△t=BILv△t，
故重力对金属杆所做的功W_G等于电路获得的电能W_电，
回路中产生的焦耳热Q=I²（R+r）△t=I（R+r）I△t=qE=EI△t=W_电；
故电能W_电等于整个回路中产生的焦耳热Q；
答：（1）金属杆的最大速度v_m为$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）该同学的做法不正确，正确解答如上；
（3）证明过程如上．

点评 本题是滑杆问题，关键是明确杆的受力情况和运动情况，要熟练运用切割公式、安培力公式列式分析，还要熟悉电路中的功能关系．