Question

13．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面上，从h高度处水平抛出一物体，经时间t落到星球表面上，已知该星球的半径为R，引力常量为G，不计该星球的自转，求：
（1）该星球表面的重力加速度g
（2）该星球的质量M
（3）该星球的第一宇宙速度υ₁．

Answer 1

分析 （1）小球竖直方向做自由落体，由匀变速运动的速度公式可以求出重力加速度；
（2）根据万有引力等于重力可以求出星球的质量．
（3）该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度υ₁；

解答 解：（1）小球球竖直方向做自由落体，运动时间：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得，星球表面的重力加速度：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
解得星球质量：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$
（3）卫星绕星球做圆周运动，重力（万有引力）提供向心力，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得第一宇宙速度为：v=$\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$；
答：（1）该星球表面的重力加速度为$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
（2）该星球得质量为$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$；
（3）该星球的第一宇宙速度为$\frac{1}{t}\sqrt{2hR}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．