Question

20．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与0点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP=$\frac{L}{2}$，在A点给小球一个水平向左的初速度v₀=3$\sqrt{gl}$，发现小球恰能到达跟P点在间一竖直线上的最高点B．已知重力加速度大小为g，试求：
（1）小球在A点时细线的张力大小；
（2）在小球从A到B的过程中空气阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球在A点时，由重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求细线的张力大小；
（2）小球恰好到达最高点B时，绳子的拉力为零，由重力充当向心力，根据牛顿第二定律求出小球在B点的速度．对A到B的过程运用动能定理，求克服空气阻力所做的功．

解答 解：（1）小球在A点时，由重力和细线拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
T-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$
又 v₀=3$\sqrt{gL}$
解得：T=10mg
（2）小球恰能达到最高点B，在B点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律有：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$
可得B点的速率为：v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gL}$
小球从A到B的过程中，设克服空气阻力做功为W_f．根据动能定理得：
-W_f-mg（L+$\frac{L}{2}$）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：W_f=$\frac{11}{4}$mgL
答：（1）小球在A点时细线的张力大小是10mg；
（2）在小球从A到B的过程中空气阻力做的功是$\frac{11}{4}$mgL．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合，要知道小球恰好到达最高点的临界条件，即拉力为零，由重力提供向心力．要知道空气阻力是变力，运用动能定理求变力做功是常用的方法．