Question

11．如图甲所示，两平行界线MN与PQ之间存在一方向垂直纸面向里的匀强磁场B，磁场宽度d=0.5m；MN右侧区域存在一水平向左的匀强电场，场强E=4.0×10²N/C，一质量为m、电荷量为+q的粒子从电场中A点由静止开始释放，已知A点到MN的距离为L=0.5m．粒子比荷为1.0×10⁴C/kg，不计粒子重力．
（1）求粒子进入磁场时速度的大小；
（2）要使粒子进入磁场后不会从磁场左边界PQ穿出，磁感应强度B须满足什么条件？
（3）若磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向里为正方向），且B₀=0.5T，t=0时刻从电场中A点由静止释放的粒子，在经过电场和磁场作用后返回到A点的时间恰好等于磁场变化的一个周期，求磁场的变化周期T．

Answer 1

分析 （1）粒子由电场进入磁场过程中，粒子做匀加速运动，所以根据动能定理即可求出粒子进入磁场的速度；
（2）要使粒子不飞离磁场，即粒子能在磁场中做完整的圆周运动，所以r≤d
（3）要使粒子在经过电场和磁场作用后返回到A点的时间恰好等于磁场变化的一个周期，先由特殊情况分析，粒子先加速进磁场，在磁场中做圆周运动，出磁场后再减速运动到速度为零，再加速进磁场，再圆周运动出磁场，最后减速到A点；最后再思考运动的多解性问题，即$\frac{T}{2}=n（\frac{T′}{2}+2{t}_{1}^{\;}）$（n=1、2、3…）

解答 解：（1）由动能定理，有：$EqL=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得：$v=\sqrt{\frac{2EqL}{m}}$$\sqrt{2×4×1{0}_{\;}^{2}×1.0×1{0}_{\;}^{4}×0.5}$=$2.0×1{0}_{\;}^{3}m/s$
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r，有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，其中r≤d，即：$\frac{mv}{Bq}≤d$
代入数据为：$\frac{2.0×1{0}_{\;}^{3}}{B•1.0×1{0}_{\;}^{4}}≤0.5$
解得：B≥0.4T
（3）粒子释放后，先在匀强电场中做匀加速直线运动，有$L=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，其中$a=\frac{Eq}{m}$=$4.0×1{0}_{\;}^{2}×1.0×1{0}_{\;}^{4}=4.0×1{0}_{\;}^{6}m/{s}_{\;}^{2}$
可解得：${t}_{1}^{\;}=5.0×1{0}_{\;}^{-4}s$．接下来，粒子进入匀强磁场做匀速圆周运动，设周期为T′，有$T′=\frac{2πm}{q{B}_{0}^{\;}}=4π×1{0}_{\;}^{-4}s$
粒子的运动情境为：先在电场中加速，然后在磁场中偏转半周，再进入电场减速；在磁场变化的二分之一周期内，粒子可以有多次这样的过程．设在磁场变化的二分之一周期内，粒子加速进入磁场n次．
根据运动的对称性，粒子在电场中减速的时间等于加速的时间，则有$\frac{T}{2}=n（\frac{T′}{2}+2{t}_{1}^{\;}）$（n=1、2、3…）
所以磁场的变化周期$T=（4π+20）n×1{0}_{\;}^{-4}s$（n=1、2、3…）
答：（1）粒子进入磁场时速度的大小为$2.0×1{0}_{\;}^{3}m/s$；
（2）要使粒子进入磁场后不会从磁场左边界PQ穿出，磁感应强度B须满足条件B≥0.4T
（3）若磁感应强度按图乙所示规律变化（以垂直纸面向里为正方向），且B₀=0.5T，t=0时刻从电场中A点由静止释放的粒子，在经过电场和磁场作用后返回到A点的时间恰好等于磁场变化的一个周期，磁场的变化周期T为$（4π+20）n×1{0}_{\;}^{-4}s$（n=1、2、3…）

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，以及粒子运动的多解性问题，关键是分析清楚粒子的运动过程，选择合适的规律求解．