Question

15．用密度为d、电阻率为P粗细均匀的金属导线制成两个闭合正方形线框M和N．边长均为L．线框M，N的导线横截面积分别为S₁，S₂，S₁＞S₂，如图所示．匀强磁场仅存在于相对磁极之间，磁感应强度大小为B，其他地方的磁场忽略不计．金属线框M水平放在磁场上边界的狭缝间，线框平面与磁场方向平行，开始运动时可认为M的aa′边和bb′位都处在磁场中．线框N在线框M的正上方，与线框M相距为h，两线框均从静止开始同时释放，其平面在下落过程中保持水平，设磁场区域在竖直方向足够长，不计空气阻力及两线框间的相互作用．

（1）求线框N刚进入磁场时产生的感应电流；
（2）在下落过程中，若线框N恰能追上线框M．追上时线框M下落高度为H，追上线框M之前线框N一直做减速运动，求该过程中线框产生的焦耳热：
（3）若将线框M，N均由磁场上边界处先后释放，释放的时间间隔为t，计算两线框在运动过程中的最大距离．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可求得线框进入磁场时的速度，再由E=BLv及闭合电路欧姆定律、电阻定律列式，联立可求得电流；
（2）线框匀速运动时，重力和安培力平衡，由平衡关系可求得速度与导线截面积的关系；由功能关系可求得线框中产生的热量；
（3）由受力分析及牛顿第二定律可求得物体的加速度，由加速度表达式可知何时距离最大，则可求得最大距离．

解答 解：（1）线框N进入磁场前由动能定理得
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²
刚进入磁场时切割磁感线
E=2BLv
由闭合电路欧姆定律可得：
I_N=$\frac{E}{{R}_{N}}$
由电阻定律可得：
R_N=$ρ\frac{4L}{{S}_{2}}$
联立以上可得：
I=$\frac{B{S}_{2}}{2ρ}$$\sqrt{2gh}$
（2）以线框M为研究对象，当线框在磁场中运动达到匀速时，设速度为v₂，
线框所受重力G=mg=4LSdg
安培力F=2BIL
匀速时受力平衡G=F
由以上各式可得v₂=$\frac{4dρg}{{B}^{2}}$
由上式可知匀速运动速度与导线截面积无关，所以两线框匀速运动速度相同，均为v₂．
由此可知当线框N恰好追上M时，两者速度相等
根据功能关系可知Q=4LS₂dg（h+H）-$\frac{32L{S}_{2}{d}^{3}{ρ}^{2}{g}^{2}}{{B}^{4}}$
（3）线框释放后二者先后作变速运动
mg-F=ma；
即：4LSdg-$\frac{{B}^{2}LSv}{ρ}$=4LSda
解得：a=g-$\frac{{B}^{2}v}{4dρ}$
由加速度可知：线框下落的加速度与线框的导线截面积无关，两个线框在磁场中先后作相同的加速运动，最后匀速，当二者都做匀速运动时，间距最大
此时最大间距△x=v₂t=$\frac{4dρgt}{{B}^{2}}$
答：（1）线框N刚进入磁场时产生的感应电流$\frac{B{S}_{2}}{2ρ}$$\sqrt{2gh}$；
（2）在下落过程中，若线框N恰能追上线框M．追上时线框材下落高度为H，追上线框M之前线框N一直做减速运动，该过程中线框产生的焦耳热为4LS₂d（h+H）-$\frac{32L{S}_{2}{d}^{3}{ρ}^{2}{g}^{2}}{{B}^{4}}$：
（3）若将线框M，N均由磁场上边界处先后释放，释放的时间间隔为t，计算两线框在运动过程中的最大距离$\frac{4dρgt}{{B}^{2}}$．

点评 本题考查电磁感应与力学以及能量的综合，掌握切割产生的感应电动势公式、闭合电路欧姆定律等知识，知道当重力等于安培力时，速度最大．