题目内容
4.均匀半圆形金属拱架ABC的圆心在O点,质量M=1000kg,A端用铰链连接,B端放在滚珠上,有一质量m=500kg的物体从最高点C无摩擦地滑下,如图所示,求当物体滑到D点时(∠COD=30°),A、B两支点对拱架的作用力.分析 对CD过程根据机械能守恒定律进行分析求解D点的速度,再根据向心力公式求出D点受到的作用力,再对支架分析,以A为支点求出B点的作用力;再对A分析,分别对水平和竖直两个方向列出平衡方程求解.
解答 解:对CD过程由机械能守恒定律可得:
mgR(1-cos30°)=$\frac{1}{2}$mv2
根据向心力公式可得:
mgcos30°-F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得N点的支持力为:F=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg
由牛顿第三定律可得D点拱架受到的力为:F'=$\frac{3\sqrt{3}-4}{2}$mg;
对拱架分析,以A为转轴,根据力矩平衡条件可得:
NB•2R=MgR+F′Rcos30°
解得:NB=6295N;方向竖直向上;
对拱架以B为转轴,则应有:
NAx=F′x=F′sin30°
解得:NAx=1495N;
NAy=Mg+F′y-F'
NAy=6295N
则根据力的合成可知:
NA=$\sqrt{{N}_{Ax}+{N}_{Ay}}$
联立解得:NA=6470N;
tanθ=$\frac{{N}_{Ax}}{{N}_{Ay}}$=$\frac{1495}{6295}$=0.24;
答:A支点对拱架的作用力分别为6470N,方向与水平方向夹角的正切值为0.24; B支点的作用力为6295N,方向竖直向上.
点评 本题考查力矩平衡以及共点力的平衡问题的分析,要注意明确在求B点时应用力矩平衡,而由于A点为铰链,故不能利用力矩平衡,只能根据水平和竖直两个广告上的平衡条件列式求解.
练习册系列答案
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