题目内容

17．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两光滑圆轨道放置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不拴接．同时释放两小球，两只小球都恰好能通过最高点，两球离开半圆轨道后均做平抛运动落到水平轨道的同一点（不考虑小球在水平面上的反弹）．求：
（1）两球对C、D两点的压力之比；
（2）CD轨道的长度．

分析 （1）抓住两球恰好通过最高点，结合牛顿第二定律求出两球在最高点的最小速度，根据动能定理和牛顿第二定律求出两球在C、D两点所受的支持力，结合动量守恒定律求出两球对C、D两点的压力之比；
（2）抓住两球离开半圆轨道后均做平抛运动落到水平轨道的同一点，根据高度求出平抛运动的时间，从而得出平抛运动的水平位移，求出CD轨道的长度．

解答 解：（1）两只小球都恰好能通过最高点，由牛顿第二定律得：
${m}_{1}g={m}_{1}\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$，
${m}_{2}g=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$，解得：${v}_{2}=\sqrt{gr}$，
分别对两球运动动能定理得：$-{m}_{1}g•2R=\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}{′}^{2}$，
$-{m}_{2}g•2r=\frac{1}{2}{m}_{2}{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}{′}^{2}$，
在C点，根据牛顿第二定律得：${N}_{1}-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{v}_{1}{′}^{2}}{R}$，
在D点，根据牛顿第二定律得：${N}_{2}-{m}_{2}g={m}_{2}\frac{{{v}_{2}′}^{2}}{r}$，
解得：N1=6m1g，N2=6m2g，${v}_{1}′=\sqrt{5gR}$，${v}_{2}′=\sqrt{5gr}$，
a、b两球组成的系统动量守恒，规定向左为正方向，根据动量守恒定律得：
m1v1′-m2v2′=0，
解得：$\frac{{N}_{1}}{{N}_{2}}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}=\frac{{v}_{2}′}{{v}_{1}′}=\sqrt{\frac{r}{R}}$．
（2）a球平抛运动的时间为：${t}_{1}=\sqrt{\frac{4R}{g}}$，b球平抛运动的时间为：${t}_{2}=\sqrt{\frac{4r}{g}}$，
则CD轨道的长度为：L=v1t1+v2t2=2R+2r=2（R+r）．
答：（1）两球对C、D两点的压力之比为$\sqrt{\frac{r}{R}}$；
（2）CD轨道的长度为2（R+r）．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律、动量守恒定律的综合运用，涉及到圆周运动、平抛运动，综合性较强，知道平抛运动在水平方向和竖直方向的运动规律，以及圆周运动在最高点和最低点向心力的来源是解决本题的额关键．

练习册系列答案
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8．下列说法正确的是（　　）
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12．关于热现象，下列说法中正确的是（　　）
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（2）橡皮泥C下落的高度h；
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9．如图所示，A、B两物体在竖直向上的力F作用下静止，A、B接触面水平，则A、B两个物体的受力个数可能为（　　）
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