Question

13．如图所示，光滑导轨EF、GH等高平行放置，EG间宽度为FH间宽度的3倍，导轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高，ab、cd是质量均为m的金属棒，现让ab从离水平轨道h高处由静止下滑，设导轨足够长．
（1）ab、cd棒的最终速度；
（2）全过程中感应电流产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）对于ab棒，金属棒下落h过程应用动能定理求解P棒刚进入磁场时的速度，再对ab，cd分别应用动量定理列方程求解；
（2）根据能量守恒定律得回路产生的总热量．

解答 解：（1）设ab，cd棒的长度分别为3L和L，磁感强度为B，abP棒进入水平轨道的速度为v，
对于ab棒，金属棒下落h过程应用动能定理：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}$，
解得P棒刚进入磁场时的速度为：$v=\sqrt{2gh}$
当P棒进入水平轨道后，切割磁感线产生感应电流．P棒受到安培力作用而减速，Q棒受到安培力而加速，Q棒运动后也将产生感应电动势，与P棒感应电动势反向，因此回路中的电流将减小．最终达到匀速运动时，回路的电流为零，
所以：E_a=E_c
即：3BLv_a=BLv_c
得：3v_a=v_c
因为当ab，cd在水平轨道上运动时，它们所受到的合力并不为零．F_a=3BIL，F_c=BIL（设I为回路中的电流），因此ab，cd组成的系统动量不守恒．
设ab棒从进入水平轨道开始到速度稳定所用的时间为△t，
对ab，cd分别应用动量定理得：
-F_a△t=-3BIL△t=mv_a-mv…①
F_c△t=BIL△t=mv_c-0…②
3v_a=v_cθ…③
解得：${v_a}=\frac{1}{10}\sqrt{2gh}，{v_c}=\frac{3}{10}\sqrt{2gh}$
（2）根据能量守恒定律得回路产生的总热量为：
$Q=mgh-\frac{1}{2}mv_a^2-\frac{1}{2}mv_c^2$
联立得：$Q=\frac{9}{10}mgh$．
答：（1）ab棒的最终速度为$\frac{1}{10}\sqrt{2gh}$，cd棒的最终速度为$\frac{3}{10}\sqrt{2gh}$；
（2）全过程中感应电流产生的焦耳热为$\frac{9}{10}mgh$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，可以根据动量定理、动量守恒定律，或根据平衡条件、牛顿第二定律列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．