题目内容
【题目】如图所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在垂直圆面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一粒子源位于圆周上的M点，可向磁场区域内垂直磁场沿各个方向发射质量为m、电荷量为q的粒子，不计粒子重力，N为圆周上另一点，半径OM和ON间的夹角θ，且满足
．
（1）若某一粒子以速率v1，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，求此粒子的速率移v1；
（2）若某一粒子以速率v2
，沿与M成600角斜向上方向射入磁场，求此粒子在磁场中运动的时间；
（3）若大量此类粒子以速率v3
，从M点射入磁场，方向任意，则这些粒子在磁场中运动的最长时间为多少？
（4）若由M点射入磁场各个方向的所有粒子速率均为题（1）中计算出的v1，求磁场中有粒子通过的区域面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】试题分析：（1）某一粒子以速率
，沿MO方向射入磁场，恰能从N点离开磁场，由几何关系求得其做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力求出入射速度
．（2）某一粒子以速率
，沿与MO成
角斜向上方向射入磁场，由半径公式知，该粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，由几何关系知道，该粒子的轨迹和偏转角均能求出，从而求出该粒子运动的时间．（3）首先做出轨迹图，利用几何关系判断出当弦长为多少时运动时间最长，从而可以计算出粒子在磁场中运行的最长时间；（4）若由M点射人磁场各个方向的所有粒子速率均为
，这些粒子在磁场中有相同的半径
，则圆心轨迹是以M为圆心、半径为
的圆．试着画出极端情况下粒子能达到的区域，从而把粒子能到达的整个区域面积求出来．
（1）粒子以速率
沿MO方向射入磁场，在磁场中做匀速圆周运动，恰好从N点离开磁场，其运动轨迹如图
设粒子轨迹半径为
，由几何关系得： 
由牛顿第二定律得： 
解得：粒子的速度为
（2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 设轨迹半径为
由牛顿第二定律得： 
解得： 
粒子沿与与MO成
方向进入磁场，设粒子从区域边界P射出，其运动轨迹如图所示
由图中几何关系可知粒子轨迹所对应的圆心角为
粒子运动周期： 
，则粒子在磁场中的运动的时间： 
（3）由牛顿第二定律得： 
解得： 
故以M所在直径为弦长的圆弧对应运动时间最长，如图所示
由几何关系得： 
，则
故运动的最长时间为
（4）粒子沿各个方向以
进入磁场做匀速圆周时的轨迹半径都为
，且不变，如图所示
由图可知，粒子在磁场中 通过的面积S等于以
为圆心的扇形
的面积
、以M为圆心的扇形MOQ的面积
和以O点为圆心的圆弧MQ与直线MQ围成的面积
之和．
则有： 
， 
， 
所以： 
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