Question

18．设某行星绕太阳公转的圆周轨道半径为r、若已知太阳的质量为M，求行星的公转周期T．若太阳的密度、行星的密度不变，行星的轨道半径r、太阳的半径R₁、行星的半径R₂都减小为现在的90%，行星仍在圆轨道上做圆周运动．通过计算说明：行星的公转周期是变大？变小？还是不变？

Answer 1

分析 行星绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，万有引力提供向心力，计算行星的公转周期，行星和太阳的质量等于各自密度乘以各自的体积，代入化简，根据表达式和题中数据讨论行星的公转周期的变化．

解答 解：根据万有引力定律，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，与行星质量无关，又因为：M=ρV=$ρ\frac{4}{3}$$π{R}_{1}^{3}$，
当行星的轨道半径r、太阳的半径R₁、行星的半径R₂都减小为现在的90%，
周期：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（0.9r）^{3}}{Gρ\frac{4}{3}π（{0.9{R}_{1}）}^{3}}}=\sqrt{\frac{3π{r}^{3}}{Gρ{R}_{1}^{3}}}$，与半径变化无关，故行星的公转周期不变．
答：行星的公转周期不变．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，本题的关键得出周期的表达式，从而分析判断．