Question

8．如图所示，在XOY直角坐标系中，OQ和OP分别与X轴正负方向成45°，在POQ区域中存在足够宽的匀强电场，场强大小为E，其余区域存在垂直纸面向里的匀强磁场B，一带电量为+q的质量为m粒子在Y轴上A点（0，-L）以平行于X轴速度v₀进入第四象项，在QO边界垂直进入电场，后又从PO边界离开电场，不计粒子的重力．其中B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．求：
（1）粒子在磁场B中做圆周运动的半径？
（2）粒子从PO进入磁场的位置坐标？
（3）粒子从A运动到OP边界所需的时间．

Answer 1

分析 （1）根据题意作出轨迹图，则由几何关系可求得半径；
（2）由带电子在磁场中的运动规律，利用运动的合成与分解可求得经历的位位，则可求得位置坐标；
（3）在磁场中根据几何关系求得圆心角，则由t=$\frac{θ}{360}$T可求得在磁场中的时间；再利用电场中的类平抛运动，可求得在电场中的时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）由题意可知粒子的运动轨迹如图所示；则根据洛仑兹力和速度方向相互垂直可知，粒子圆心一定在O点；
由几何关系可知，r=L
（2）设粒子在电场中运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律有：
a=$\frac{Eq}{m}$
由平抛运动规律可知：
OQ方向L=$\frac{1}{2}$at²；
OP方向上；S=v₀t
联立解得，S=v₀$\sqrt{\frac{2Lm}{qE}}$；
则坐标值为x=-Scos45°=-v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$，y=Ssin45°=v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$；
故粒子从PO进入磁场的坐标为（-v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$，v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$）
（3）粒子在磁场中的周期T=$\frac{2πm}{Bq}$=$\frac{2πl}{{v}_{0}}$
粒子在磁场中的时间t₁=$\frac{135°}{360°}T$=$\frac{3πl}{4{v}_{0}}$；
粒子在电场中运动时间t₂=$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
故总时间t=t₁+t₂=$\frac{3πl}{4{v}_{0}}$+$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$
答：（1）粒子在磁场B中做圆周运动的半径为L；
（2）粒子从PO进入磁场的位置坐标为（-v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$，v₀$\sqrt{\frac{Lm}{qE}}$）
（3）粒子从A运动到OP边界所需的时间为$\frac{3πl}{4{v}_{0}}$+$\sqrt{\frac{2mL}{Eq}}$

点评 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动，要注意明确电场中的研究方法为运动的合成与分解，而磁场中主要是利用洛仑兹力确定圆心和半径，明确圆的性质的应用，结合几何关系即可求解．