Question

15．如图所示，在I区里有竖直方向的匀强电场E=4×10⁵N/C，在Ⅱ区里有垂直于纸面向外的匀强磁场．电场和磁场的宽度d相等，d=0.4m．质荷比$\frac{m}{q}$=4×10^-10kg/C的带正电的粒子，以初速度v₀=2×10⁷m/s从PQ边界上的O点垂直PQ射人电场．若电磁场在竖直方向足够长，不计粒子的重力，求：
（1）求粒子经过电场、磁场边界MN时的速度及偏离v₀方向的距离；
（2）若要使粒子在磁场区域，不偏出RS边界，则磁感应强度B的取值范围；
（3）粒子在电、磁扬中的最长运动时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出粒子的速度、粒子的偏移量．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子的轨道半径的临界值，然后由牛顿第二定律求出磁感应强度的临界值，最后确定磁感应强度范围．
（3）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出粒子总的运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，
水平方向：d=v₀t₁，
解得：t₁=2×10^-8s，
竖直方向：v_y=at₁=$\frac{qE}{m}$t₁，v_y=2×10⁷m/s，
粒子速度偏角的正切值：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1，则θ=45°，
粒子离开MN时的速度：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{2}$×10⁷m/s，
粒子的偏移量：y=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²=0.2m；
（2）粒子恰好不离开RS边界时的运动轨迹如图所示：
由几何知识得：rsin45°+r=d，
解得：r=（2-$\sqrt{2}$）d=0.4（2-$\sqrt{2}$）m，
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{mv}{qr}$=0.02（1+$\sqrt{2}$）T≈0.048T，
磁感应强度B的取值范围：B≥0.048T；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁场中做圆周运动的最长时间：
t₂=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{270°}{360°}$×$\frac{2πm}{qB}$=3.925×10^-8s，
粒子的最长运动时间：t=t₁+t₂=5.925×10^-8s；
答：（1）粒子经过电场、磁场边界MN时的速度大小为2$\sqrt{2}$×10⁷m/s，与水平方向夹角为45°，偏离v₀方向的距离为0.2m；
（2）若要使粒子在磁场区域，不偏出RS边界，磁感应强度B的取值范围是B≥0.048T；
（3）粒子在电、磁扬中的最长运动时间为：5.925×10^-8s．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是解题的关键，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式可以解题．