Question

19．如图所示，一质量为m的金属杆MN，在竖直平面内贴着两根足够长的光滑金属导轨下滑，导轨的间距为L，导轨上端接有阻值为R的电阻，导轨与金属杆电阻不计，整个装置处于磁感应强度大小为B的水平匀强磁场中，已知重力加速度为g．若金属杆从导轨上某一位置静止释放，当下滑的高度为h时，速度达到最大值，整个过程空气阻力不计，试求：
（1）金属棒下滑时，通过电阻R的电流方向；
（2）金属棒下滑的最大速度v_m多大；
（3）金属棒下滑h的过程中，电路产生的电能E．

Answer 1

分析 （1）由右手定则判断出MN中感应电流的方向然后判定流过R的电流方向；
（2）金属棒先向下做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，速度达到最大．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和安培力公式及平衡条件，求解最大速度的大小．
（3）在下滑过程中，金属棒的机械能减少转化为内能和金属棒的动能，根据能量守恒定律求解金属棒中产生的电能．

解答 解：（1）根据楞次定律（或右手定则）可判断，导体棒中的电流的方向由M向N，所以通过电阻R的电流方向为：由b经电阻R流向a（或写成“b→a”）
（2）由法拉第电磁感应定律知，当金属棒达到最大速度v_m时，产生的感应电动势：E_m=BLv_m
由闭合电路欧姆定律得，电路中的感应电流：$I=\frac{E_m}{R}$．
金属棒受到的安培力：F_安=BIL
此时金属棒受力平衡，如图所示，所受的安培力F_m与自身重力mg相等，即：F_安=mg．
联立以上四式，可解得金属棒下滑速度的最大值：${v_m}=\frac{mgR}{{{B^2}{L^2}}}$
（3）金属棒下滑高度为h的过程中，根据能量守恒定律得：$mgh=\frac{1}{2}m{v_m}^2+E$
综合（1）的结论，解得电路产生的电能：$E=mgh-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2{B^4}{L^4}}}$
答：（1）金属棒下滑时，通过电阻R的电流方向是由b经电阻R流向a；
（2）金属棒下滑的最大速度是$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金属棒下滑h的过程中，电路产生的电能是$mgh-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 金属棒在运动过程中克服安培力做功，把金属棒的动能转化为焦耳热，在此过程中金属棒做加速度减小的减速运动；对棒进行受力分析、熟练应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、动能定理等正确解题．