题目内容
如图所示,空间存在匀强电场和匀强磁场,电场方向为y轴正方向,磁场方向垂直于xy平面(纸面)向外,电场和磁场都可以随意加上或撤除,重新加上的电场或磁场与撤除前的相同.一带正电荷的粒子从P(x=0,y=h)点以一定的速度v0平行于x轴正向入射.这时若只有磁场,粒子将做半径为R0的圆周运动;若同时存在电场和磁场,粒子恰好做直线运动.现在,只加电场,当粒子从P点运动到x=R0平面(图中虚线所示)时,立即撤除电场的同时加上磁场,粒子继续运动,其轨迹与x轴交于M点.不计带电粒子的重力.求:
(1)粒子到达x=R0平面时的速度v;
(2)M点到坐标原点O的距离xM.
(1)粒子到达x=R0平面时的速度v;
(2)M点到坐标原点O的距离xM.
分析:(1)同时存在电场和磁场,粒子恰好做直线运动,电场力与洛伦兹力平衡,得到场强与磁感应强度的关系.只有磁场时粒子将做半径为R0的圆周运动,由牛顿第二定律求出磁感应强度.只有匀强电场时,带电粒子做类平抛运动,由牛顿第二定律求出加速度,运用运动的合成和分解法求出粒子到达x=R0平面时的速度v;
(2)撤除电场加上磁场后,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律求出半径,画出轨迹,根据几何知识求解M点到坐标原点O的距离xM.
(2)撤除电场加上磁场后,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律求出半径,画出轨迹,根据几何知识求解M点到坐标原点O的距离xM.
解答:解:(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,匀强电场的场强和匀强磁场的磁感应强度分别为E和B.
由题意 qE=qBv0
由牛顿第二定律 qBv0=m
只有匀强电场时,带电粒子做类平抛运动.
由牛顿第二定律 qE=ma
如图所示,带电粒子到达A点时
vx=v0
vy=at
R0=vxt
粒子速度大小为 v=
解得 v=
v0
设速度v的方向与x轴正方向的夹角为θ,则 tanθ=
解得 θ=
(2)撤除电场加上磁场后,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,设圆轨道半径为R,
由牛顿第二定律 qBv=m
解得 R=
R0
粒子运动轨迹如图所示,A点到x轴的距离为 H=h+
at2=h+
圆心C位于与速度v方向垂直的直线上,由几何关系,该直线与x轴负向和y轴负向的夹角均为
则C点坐标为 xC=2R0,yC=H-R0=h-
过C点作x轴的垂线,垂足为D,在△CDM中,
=R=
R0,
=yC=h-
=
,xM=
+
解得 xM=2R0+
.
答:
(1)粒子到达x=R0平面时的速度v是
v0,方向与x轴正方向的夹角为
.
(2)M点到坐标原点O的距离xM为2R0+
.
由题意 qE=qBv0
由牛顿第二定律 qBv0=m
| ||
R0 |
只有匀强电场时,带电粒子做类平抛运动.
由牛顿第二定律 qE=ma
如图所示,带电粒子到达A点时
vx=v0
vy=at
R0=vxt
粒子速度大小为 v=
|
解得 v=
2 |
设速度v的方向与x轴正方向的夹角为θ,则 tanθ=
vy |
vx |
解得 θ=
π |
4 |
(2)撤除电场加上磁场后,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,设圆轨道半径为R,
由牛顿第二定律 qBv=m
v2 |
R |
解得 R=
2 |
粒子运动轨迹如图所示,A点到x轴的距离为 H=h+
1 |
2 |
R0 |
2 |
圆心C位于与速度v方向垂直的直线上,由几何关系,该直线与x轴负向和y轴负向的夹角均为
π |
4 |
则C点坐标为 xC=2R0,yC=H-R0=h-
R0 |
2 |
过C点作x轴的垂线,垂足为D,在△CDM中,
. |
CM |
2 |
. |
CD |
R0 |
2 |
. |
DM |
|
. |
OD |
. |
DM |
解得 xM=2R0+
|
答:
(1)粒子到达x=R0平面时的速度v是
2 |
π |
4 |
(2)M点到坐标原点O的距离xM为2R0+
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点评:本题是综合性很强的带电粒子在电磁场中运动的问题,对电场中运动的合成与分解法、磁场中画轨迹,运用几何知识求距离等等方法要熟练,难度较大.
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