Question

3．地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波．但无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上两级附近总有一部分面积不能直接收到它们发射来的微波，设想再发射一颗极地卫星，将这些面积覆盖起来，问：这颗极地卫星绕地球的周期至少有多大？已知地球半径为R₀，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T．

Answer 1

分析 同步卫星总是在赤道上空，其高度也是一定的．由它画一条到地球表面的切线，可见两极周围的区域内就收不到微波通讯．
根据万有引力提供向心力和数学几何关系求解．根据几何关系求出极地卫星的轨道半径，由万有引力提供向心力即可求出极地卫星的周期．

解答 解：以m、M分别表示同步卫星和地球的质量，r表示同步卫星到地心的距离，T表示地球的自转周期，则
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
地球表面万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}=mg$
根据几何关系：$rsinα={R}_{0}^{\;}$
对于极地卫星，轨道半径为r′，周期为T′
$r′cosα={R}_{0}^{\;}$
有$G\frac{Mm}{r{′}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{T{′}_{\;}^{2}}r′$
得$T′=\sqrt{\frac{r{′}_{\;}^{3}}{{r}_{\;}^{3}}}T$=$（\frac{{R}_{0}^{\;}}{\sqrt{（\frac{g{R}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）}-{R}_{0}^{2}}）^{\frac{3}{2}}T$
答：这颗极地卫星绕地球的周期至少为$（\frac{{R}_{0}^{\;}}{\sqrt{（\frac{g{R}_{0}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}）}-{R}_{0}^{2}}）^{\frac{3}{2}}T$

点评 解决该题关键要根据题意找出收不到微波区域的面积，善于把物理问题与数学几何图形结合运用