Question

如图所示，在圆柱形房屋天花板中心O点悬挂一根长为L的细绳，绳的下端挂一个质量为m的小球，已知绳能承受的最大拉力为2mg，小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球恰好以速度v₂=

7gL

落到墙脚边．求：
（1）绳断裂瞬间的速度v₁；
（2）圆柱形房屋的高度H．

Answer 1

分析：（1）根据绳子的最大拉力，结合平行四边形定则求出绳子与竖直方向的夹角，根据合力提供向心力求出绳断裂瞬间的速度．
（2）根据机械能守恒定律求出绳断裂时小球距离地面的高度，从而求出房屋的高度．

解答：解：绳断裂前小球作圆锥摆运动，绳断裂后小球沿切线方向作平抛运动，直到落地，小球作平抛运动的过程满足机械能守恒定律．
（l）小球在绳断前瞬时受力如图所示
由于T_m=2mg，cosθ=

mg

Tm

=

1

2

，θ=60⁰
F_合=mgtan60°=m

v12

r

，r=Lsinθ解得v₁=

3gL 2

．
（2）小球从抛出到落地，根据机械能守恒定律

1

2

mv₁²+mgh₁=

1

2

mv₂²
式中h₁为绳断裂时小球距地面的高度，由上式解得h₁=

v22-v12

2g

=

11

4

L
设绳断裂时小球距天花板的高度为h₂，则h₂=Lcos60°=L
故房屋高度H=h₁+h₂=

13L

4

答：（1）绳断裂瞬间的速度v₁=

3gL 2

．
（2）圆柱形房屋的高度H为

13L

4

．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律，知道物体做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解．