Question

如图所示：矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域；半径为R、内壁光滑、内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O为MN的中点，半圆管的一半处于电场中．一带正电的小球从半圆管的A点由静止开始滑入管内，小球可视为质点，质量为m，电量为q，当小球达到B点时，对管壁的压力为F_N=3mg，重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的电场强度E；
（2）若小球能从矩形框的右边界NP离开电场，矩形区域MNPQ的最小面积S．

Answer 1

分析：（1）小球到达B点时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解B点速度；然后研究小球从A→B过程，根据动能定理列式求解电场强度；
（2）小球从B点滑出后，在水平方向先向左做匀减速直线运动，后向右做匀加速直线运动；竖直方向做自由落体运动；根据运动学公式列式分析即可．

解答：解：（1）设小球从B点滑出时的速度为v₀，小球过B点时，支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
F_N-mg=m

v 2 0

R

解得：
v₀=

2gR

A到B过程，由动能定理有：
2mgR-qER=

1

2

m_Bv₀²
解得：
E=

mg

q

（2）小球从B点滑出后，在水平方向做变速直线运动，竖直方向做自由落体运动
水平方向：a_x=

qE

m

=g
竖直方向：a_y=g
设向左减速时间为t₁，则有：
t1=

v0

ax

=

2R g

小球向左运动的最大距离：
x=

v0t1

2

=R
虚线框MNPQ的最小宽度：L=2R
设向左时间为t2，则有：
L=

1

2

ax

t

2 2

解得：
t2=2

R x

小球出电场时，下落的高度：
h=

1

2

ay(t1+t2)2=(3+2

2

)R
虚线框MNPQ高度应该满足：H＞R+h
故虚线框MNPQ的最小面积：
S=H_minL=4（2+

2

）R²
答：（1）匀强电场的电场强度E为

mg

q

；（2）若小球能从矩形框的右边界NP离开电场，矩形区域MNPQ的最小面积S为4（2+

2

）R²．

点评：本题关键明确粒子的运动，然后结合动能定理、牛顿第二定律、正交分解法、运动学公式列式求解；特别是第二问，通过分运动来研究合运动，不难．