Question

7．如图所示，在直角坐标系第一象限内分成三个区域，边长为l的正方形OPMN为区域1，区域1内存在方向水平向右、大小为E的匀强电场；x=l的右侧为区域2，区域2内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场；挡板MN上方为区域3．质量为m、电荷量为+q的带电粒子从O点静止释放，经区域1中电场的加速和区域2磁场的偏转，刚好到达Q点．已知PQ=2l，不计带电粒子的重力．
（1）试求：区域2中磁场的磁感应强度大小；
（2）在其他条件不变的情况下，在区域1哪些位置静止释放带电粒子，这些粒子经电场加速和慈航偏转后都能到达Q点；
（3）在（2）问的情况下，为使所有到达Q点的粒子都能达到挡板MN上，需在区域3加上y方向的电场，试求：此电场的方向和电场强度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题设条件，当从O点出发的带电粒子经电场加速再进入磁场做匀速圆周运动恰到Q点，由动能定理求出进入磁场的速度，由洛仑兹力提供向心力从而求出磁感应强度的大小．
（2）设在区域Ⅰ中的（x，y）出发的带电粒子经电场加速后，进入磁场做匀速圆周运动后恰到达Q点，同样的道理由动能定理各洛仑兹力提供向心力以及几何关系，从而表示出满足条件的位置坐标方程．
（3）从Q点出发后，在Ⅲ区做类平抛运动，要使带电粒子打到MN上，由于水平位移不能超过l，时间由电场决定，从而表示出区域Ⅲ内场强的大小，再由x的范围就能求出该区域内电场强度的最小值．

解答 解：（1）由题意，带电粒子从O点静止释放，经区域1中电场的加速和区域2磁场的偏转，刚好到达Q点．
  在正方形电场中，$Eql=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  由几何关系知，带电粒子做匀速圆周运动的半径为l，由洛仑兹力提供向心力有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{l}$
  联立可得：B=$\sqrt{\frac{2Em}{ql}}$
（2）设坐标为（x，y）处的粒子在电场中先加速，进入磁场中做匀速圆周运动，同理有：
  $Eq（l-x）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
  其中  $R=\frac{2l-y}{2}$
  联立可得：y=$2l-2\sqrt{l（l-x）}$
  由于区域的限制y＜l，即x＜$\frac{3}{4}l$   
  所以释放带电粒子的位置为曲线方程为  y=$2l-2\sqrt{l（l-x）}$，x$＜\frac{3}{4}l$的曲线上．
（3）到达Q点后带电粒子进入Ⅲ区做类平抛运动，要使带电粒子能到达MN上，则匀强电场方向应竖直向下，由类平抛运动规律有：
  竖直方向有：$l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$   而$a=\frac{{E}_{3}q}{m}$，
  且x=vt≤l 
  结合（2）中的相关公式有：${E}_{3}≥\frac{4（l-x）}{l}$E，显然当l-x=l时，E₃有最小值，为4E．
答：（1）区域2中磁场的磁感应强度大小为$\sqrt{\frac{2Em}{ql}}$．
（2）在其他条件不变的情况下，在区域1满足y=$2l-2\sqrt{l（l-x）}$ （x$＜\frac{3}{4}l$  ）方程位置静止释放带电粒子，经电场加速和慈航偏转后都能到达Q点．
（3）在（2）问的情况下，为使所有到达Q点的粒子都能达到挡板MN上，需在区域3加上负y方向的电场，此电场的方向和电场强度的最小值为4E．

点评 本题的物理过程明确，运用的规律也只有两个：动能定理和牛顿第二定律，但要注意的是结合几何关系，及x出发的粒子有一个范围，才能得到位置坐标方程．第三问又综合了类平抛运动相关知识，由于打在MN上的时间由电场强度决定，要注意的是水平位移不能超过l，列出相关等式和不等式，就能求出场强的最小值．