Question

14．质量为m=1kg的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到与P点在同一水平面上的A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆形轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平，斜面与圆弧轨道在C点相切连接（小物块经过C点时机械能损失不计）．已知圆弧半径R=1.0m，圆弧对应圆心角θ=106°，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.8m．设小物块首次经过C点时为零时刻，在t=0.8s时刻小物块经过D点，已知小物块与斜面间的滑动摩擦因数为μ₁=$\frac{1}{3}$，（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），试求：

（1）小物块离开A点的水平初速度v₁大小；
（2）若传送带的速度为5m/s，小物块与传送带之间摩擦产热的多少；（已知小物块与传送带之间的滑动摩擦因数为μ₂=0.5）
（3）小物块经过O点时对轨道的压力；
（4）斜面上CD间的距离．

Answer 1

分析 （1）小物块离开A点后做平抛运动，根据末速度的末速度的方向与竖直下落高度求水平初速度的大小；
（2）小物块与传送带间摩擦产生的热量等于摩擦力与相对位移的乘积．
（3）根据牛顿第二定律和动能定理求解轨道对小物块的支持力；
（4）根据动能定理求解斜面CD间距离．

解答 解：（1）对小物块，由A到B做平抛运动，在竖直方向上有：${v}_{y}^{2}=2gh$…①
在B点是有：$tan\frac{θ}{2}=\frac{{v}_{y}}{{v}_{A}}$…②
由①②两式代入数据解得：v_A=3 m/s…③
（2）小物块在摩擦力作用下做匀加速运动的加速度为：
a=$\frac{f}{m}=\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g=0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
小物块在传送带上运动的时间为：t=$\frac{{v}_{A}}{a}=\frac{3}{5}s=0.6s$
小物块的位移为：${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×5×0．{6}^{2}m=0.9m$
传送带此时间内的位移为：x₂=vt=5×0.6m=3m
所以小物块因摩擦产生的热量为：Q=f△x=0.2×1×10×（3-0.9）J=4.2J
（3）对小物块，由A到O由动能定理得：
mg[h+R（1-sin37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…④
在O点由牛顿第二定律有：${F}_{N}-mg=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…⑤
由③④⑤代入数据可解得：F_N=43 N
（4）物块沿斜面上滑时有：mgsin53°+μ₁mgcos53°=ma₁…⑥
解得小物块上滑时的加速度为：a₁=gisn53°+μgcos53°=10m/s²
v_C=v_B=5 m/s               
小物块由C上升到最高点历时为：${t}_{1}=\frac{{v}_{c}}{{a}_{1}}$=0.5s 
则小物块由斜面最高点回到D点历时为：t₂=0.8 s-0.5 s=0.3 s
小物块沿斜面下滑时有：mgsin53°-μmgcos53°=ma₂ 
解得：a2=gsin53°-μgcos53°=6m/s2
故CD距离为：${x}_{CD}=\frac{{v}_{C}}{2}{t}_{1}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=0.98m
答：（1）小物块离开A点时的水平速度大小为3m/s；
（2）若传送带的速度为5m/s，小物块与传送带之间摩擦产热的4.2J；
（3）小物块经过O点时，轨道对它的支持力大小为43N；
（4）斜面上C、D间的距离为0.98m．

点评 本题关键是明确受力情况和运动过程，注意过程的连接点是解题的切入点，结合动能定理和平抛运动的规律列式求解，不难．