题目内容

5.如图甲所示,A、B为光滑水平地面上相距d的两挡板,在A、B的之间有一质量为m的质点P.若在P上加上如图乙所示随时间t变化的作用力F(取向右为F的正方向),在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0.已知质点P能在A、B之间以最大的幅度运动而不与两板相碰,且质点P开始从中点运动到最右边,以后每次从最左边到最右边或从最右边到最左边的过程中,力F只改变一次.要求:

(1)求质点P由AB的中点从静止开始第一次运动到最右边的时间t;
(2)导出图乙中时刻t2的表达式;
(3)导出图乙中时刻tn的表达式.

分析 (1)质点从B板向A板先做加速运动,后做减速运动,位移之和等于$\frac{1}{2}$d,由速度公式和位移公式列式求解t的表达式.
(2)寻找每次加速和减速的规律,得出tn的表达式

解答 解:(1)质点运动加速度大小a=$\frac{F}{m}$=g
在t=0时,P自A、B间的中点向右作初速为0的匀加速运动,加速度为g.经过时间t1,P的速度变为v1,此时加速度变为向左,P向右作匀减速运动,再经过t1,P正好达到B板且速度变为0.故有
v1=g t1
0=v1-gt1
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$+v1t1-$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$由以上各式得t1=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{d}{g}}$得t=t1+t1=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{d}{g}}$
(2)P由B板处向左做匀加速运动,经过时间t2,P的速度变为v2,方向向左.此时加速度变为向右,P向左作匀减速运动,再经过t3,P正好达到A板且速度变为0.故有
v2=gt2
0=v2-gt3
d=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$+v2t3-$\frac{1}{2}$g${t}_{3}^{2}$由以上各式得   t2=t3=$\sqrt{\frac{d}{g}}$则 t2=t1+t1+t2=($\sqrt{2}$+1)$\sqrt{\frac{d}{g}}$质点P又由A板向右作匀加速运动,经过时间t4,速度变为v3,此时加速度变为向左,P向右作匀减速运动,经过t5,P正好达到B板且速度变为0.故有
v3=gt4
0=v3-gt5
d=$\frac{1}{2}$g${t}_{4}^{2}$+v3t5-$\frac{1}{2}$g${t}_{5}^{2}$由上得 t4=t5=$\sqrt{\frac{d}{g}}$t3=t2+t3+t4=( $\sqrt{2}$+3)$\sqrt{\frac{d}{g}}$根据上面分析,除第一次P从中点运动到最右点外,以后每次从从最左边到最右边或从最右边到最左边的运动,都是先做匀加速运动,再做匀减速运动,且每次匀加速运动和匀减速运动的时间相等,即
t2=t3=t4=t5=…=$\sqrt{\frac{d}{g}}$则tn=t+(2n-3)t2  (n≥2)
得tn=( $\sqrt{2}$+2n-3)$\sqrt{\frac{d}{g}}$(n≥2)
答:(1)质点P从AB的中点从静止开始出发第一次运动到最右点的时间t为 $\sqrt{2}\sqrt{\frac{d}{g}}$;
(2)导出图乙中时刻t2的表达式为t2=$\sqrt{\frac{d}{g}}$;
(3)导出图乙中时刻tn的表达式为tn=( $\sqrt{2}$+2n-3)$\sqrt{\frac{d}{g}}$(n≥2)

点评 本题是质点在周期性变化的作用力作用下的运动问题,分析质点的运动情况、把握运动规律是关键

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