Question

5．如图甲所示，A、B为光滑水平地面上相距d的两挡板，在A、B的之间有一质量为m的质点P．若在P上加上如图乙所示随时间t变化的作用力F（取向右为F的正方向），在t=0时质点P位于A、B间的中点处且初速为0．已知质点P能在A、B之间以最大的幅度运动而不与两板相碰，且质点P开始从中点运动到最右边，以后每次从最左边到最右边或从最右边到最左边的过程中，力F只改变一次．要求：

（1）求质点P由AB的中点从静止开始第一次运动到最右边的时间t；
（2）导出图乙中时刻t₂的表达式；
（3）导出图乙中时刻t_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）质点从B板向A板先做加速运动，后做减速运动，位移之和等于$\frac{1}{2}$d，由速度公式和位移公式列式求解t的表达式．
（2）寻找每次加速和减速的规律，得出t_n的表达式

解答 解：（1）质点运动加速度大小a=$\frac{F}{m}$=g
在t=0时，P自A、B间的中点向右作初速为0的匀加速运动，加速度为g．经过时间t₁，P的速度变为v₁，此时加速度变为向左，P向右作匀减速运动，再经过t₁，P正好达到B板且速度变为0．故有
v₁=g t₁
0=v₁-gt₁
$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$+v₁t₁-$\frac{1}{2}$g${t}_{1}^{2}$由以上各式得t₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{\frac{d}{g}}$得t=t₁+t₁=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{d}{g}}$
（2）P由B板处向左做匀加速运动，经过时间t₂，P的速度变为v₂，方向向左．此时加速度变为向右，P向左作匀减速运动，再经过t₃，P正好达到A板且速度变为0．故有
v₂=gt₂
0=v₂-gt₃
d=$\frac{1}{2}$g${t}_{2}^{2}$+v₂t₃-$\frac{1}{2}$g${t}_{3}^{2}$由以上各式得   t₂=t₃=$\sqrt{\frac{d}{g}}$则 t₂=t₁+t₁+t₂=（$\sqrt{2}$+1）$\sqrt{\frac{d}{g}}$质点P又由A板向右作匀加速运动，经过时间t₄，速度变为v₃，此时加速度变为向左，P向右作匀减速运动，经过t₅，P正好达到B板且速度变为0．故有
v₃=gt₄
0=v₃-gt₅
d=$\frac{1}{2}$g${t}_{4}^{2}$+v₃t₅-$\frac{1}{2}$g${t}_{5}^{2}$由上得 t₄=t₅=$\sqrt{\frac{d}{g}}$t₃=t₂+t₃+t₄=（ $\sqrt{2}$+3）$\sqrt{\frac{d}{g}}$根据上面分析，除第一次P从中点运动到最右点外，以后每次从从最左边到最右边或从最右边到最左边的运动，都是先做匀加速运动，再做匀减速运动，且每次匀加速运动和匀减速运动的时间相等，即
t₂=t₃=t₄=t₅=…=$\sqrt{\frac{d}{g}}$则t_n=t+（2n-3）t₂  （n≥2）
得t_n=（ $\sqrt{2}$+2n-3）$\sqrt{\frac{d}{g}}$（n≥2）
答：（1）质点P从AB的中点从静止开始出发第一次运动到最右点的时间t为 $\sqrt{2}\sqrt{\frac{d}{g}}$；
（2）导出图乙中时刻t₂的表达式为t₂=$\sqrt{\frac{d}{g}}$；
（3）导出图乙中时刻t_n的表达式为t_n=（ $\sqrt{2}$+2n-3）$\sqrt{\frac{d}{g}}$（n≥2）

点评 本题是质点在周期性变化的作用力作用下的运动问题，分析质点的运动情况、把握运动规律是关键