Question

13．在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为μ的滑道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中，如图所示．设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s²）．求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要求到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？
（3）对应的最大水平距离X_max为多少？

Answer 1

分析 清楚运动员的运动过程，可运用动能定理研究A到B得过程把运动员到达B点的速度与高度h的关系联系起来．
求s的最大值，方法是把这个s先通过平抛运动规律表示出来，通过数学函数知识（可以配方）求极值．

解答 解：（1）设AB与水平面夹角为θ，A运动到B过程，摩擦阻力做功为：
W_f=μmgcosθ$\frac{L}{cosθ}$=μmgL
由A运动到B过程应用动能定理有：
mg（H-h）-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_B²-0
得：v_B=$\sqrt{2g（H-h-μL）}$
（2、3）离开B点做平抛运动
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$gt²
解得：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
水平方向：x=v_Bt
解得：x=2$\sqrt{（H-h-μL）h}$=$2\sqrt{-{h}^{2}+（H+μL）h}$
当h=$\frac{H+μL}{2}$时，x有最大值，x_max=H-μL
所以对应的最大水平距离为X_max=H-μL+L．
答：（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系是v_B=$\sqrt{2g（H-h-μL）}$；
（2）运动员要求到最大水平运动距离，B点的高度h应调为$2\sqrt{-{h}^{2}+（H+μL）h}$；
（3）对应的最大水平距离X_max为H-μL+L．

点评 第一问中也可以用牛顿第二定律结合运动学公式求解，哪个简便你可以去尝试比较．
求一个物理量的极值，常见的方法是把这个物理量先表示出来，通过数学知识（可以配方）求极值．