题目内容
（2008?江苏模拟）有条船在水中航行时所受阻力与其速度的大小成正比，现在船由静止开始沿直线航行．若保持牵引力恒定，经过时间t1，后速度为v1，加速度为a1，牵引力功率为P1，通过航程为s1，最终以2v速度匀速运动；若保持牵引力的功率恒定，经过时间t2后速度为v，加速度为a2，牵引力功率为P2，通过航程为s2，最终也以2v速度匀速运动．则下列关系式正确的是（ ）
分析：1、以恒定牵引力启动的物理过程：
根据牛顿第二定律可知由于F恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
又P=Fv，由于速度增大，所以功率增大．
到t1时刻，为v、a1，当F=f=k?2v时，a=0，匀速2v，P=F?2v=4kv2．
需要注意的是，虽然牵引力恒定，但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是变力，不是匀变速运动．
2、以恒定功率启动的物理过程：
根据牛顿第二定律a=
=
，由于P恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
到t2时刻，为v、a2，当F′=f=k?2v时，a′=0，匀速2v，P′=F?2v=4kv2
故有最终功率相等．
根据牛顿第二定律可知由于F恒定，速度增大，所以加速度减小，故做加速度减小的加速运动．
又P=Fv，由于速度增大，所以功率增大．
到t1时刻，为v、a1，当F=f=k?2v时，a=0，匀速2v，P=F?2v=4kv2．
需要注意的是，虽然牵引力恒定，但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是变力，不是匀变速运动．
2、以恒定功率启动的物理过程：
根据牛顿第二定律a=
| F-f |
| m |
| ||
| m |
到t2时刻，为v、a2，当F′=f=k?2v时，a′=0，匀速2v，P′=F?2v=4kv2
故有最终功率相等．
解答：
解：以恒定的牵引力启动经过时间t1时满足方程：
F-kv=ma1…①
以2v的速度作匀速运动时满足方程：
F-k2v=0…②
由①②两式可得：kv=ma1…③
船以恒定的功率启动经过时间t2时，设牵引力为F′，则有：F′-kv=ma2…④
设恒定功率为P，则有：P=F′v…⑤
由于功率一定，两次最终也以2v的速度作匀速运动，匀速运动时满足方程：P=F2v…⑥
由⑤⑥两式得：F′=2F
代入④得：2F-kv=ma2…⑦
将②代入上式得：3kv=ma2…⑧
由③⑧两式相比可得：a2=3a1
故A正确．
关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便．画出两船的v-t图象，图线的斜率等于其加速度，注意利用速度均为v时，a2=3a1；速度为2v时，均匀速运动，故得图线如图所示，图中甲表示以恒定牵引力启动，乙表示以恒定功率启动．
由图可知，开始阶段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度达到v时，从图中很直观看出t1＞t2，但是不能证明t1=3t2，同理也不能证明位移和功率的具体关系，只能求出大体大小关系，本题的正确答案应是A．
故选A．
解：以恒定的牵引力启动经过时间t1时满足方程：F-kv=ma1…①
以2v的速度作匀速运动时满足方程：
F-k2v=0…②
由①②两式可得：kv=ma1…③
船以恒定的功率启动经过时间t2时，设牵引力为F′，则有：F′-kv=ma2…④
设恒定功率为P，则有：P=F′v…⑤
由于功率一定，两次最终也以2v的速度作匀速运动，匀速运动时满足方程：P=F2v…⑥
由⑤⑥两式得：F′=2F
代入④得：2F-kv=ma2…⑦
将②代入上式得：3kv=ma2…⑧
由③⑧两式相比可得：a2=3a1
故A正确．
关于时间的比较用v-t图象加以分析比较方便．画出两船的v-t图象，图线的斜率等于其加速度，注意利用速度均为v时，a2=3a1；速度为2v时，均匀速运动，故得图线如图所示，图中甲表示以恒定牵引力启动，乙表示以恒定功率启动．
由图可知，开始阶段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度达到v时，从图中很直观看出t1＞t2，但是不能证明t1=3t2，同理也不能证明位移和功率的具体关系，只能求出大体大小关系，本题的正确答案应是A．
故选A．
点评：解决此类问题的关键是“三分析”--分析受力，根据牛顿运动定律确定运动性质；以加速度为桥梁，分析运动及其变化过程；分析收尾状态，明确特征及其条件．对于变力作用下的运动过程处理（例如本题求由静止启动到最终匀速运动的位移和时间），因涉及微积分，中学只能用动能定理求解或图象法求解．本题思维难度较大，属于难题．
练习册系列答案
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