Question

【题目】某游乐园入口旁有一鲸鱼喷泉，在水泵作用下会从鲸鱼模型背部喷出竖直向上的水柱，将站在冲浪板上的玩偶模型托起，悬停在空中，伴随着音乐旋律，玩偶模型能够上下运动，非常引人驻足，如图所示。这一景观可做如下简化，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；设同一高度水柱横截面上各处水的速率都相同，冲浪板底部为平板且其面积大于水柱的横截面积，保证所有水都能喷到冲浪板的底部。水柱冲击冲浪板前其水平方向的速度可忽略不计，冲击冲浪板后，水在竖直方向的速度立即变为零，在水平方向朝四周均匀散开。已知玩偶模型和冲浪板的总质量为M，水的密度为ρ，重力加速度大小为g，空气阻力及水的粘滞阻力均可忽略不计。

（1）试计算玩偶模型在空中悬停时，水对冲浪板的冲击力大小和喷泉单位时间内喷出的水的质量；

（2）实际上当我们仔细观察发现喷出的水柱在空中上升阶段并不是粗细均匀的，而是在竖直方向上一端粗一端细，请你分析上升阶段的水柱是上端较粗还是下端较粗，并说明水柱呈现该形态的原因。

（3）由于水柱顶部的水与冲浪板相互作用的时间很短，因此在分析水对冲浪板的作用力时可忽略这部分水所受的重力作用。求玩偶在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

Answer 1

【答案】（1） （2）水柱上端较粗，下端较细。任意横截面流速相等，下端水柱速度较上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S为水柱截面积，v为水柱中水的流速）可知，上端水柱截面较大。 （3）

【解析】（1）①玩偶处在空中静止，此时受重力与水向上的推力，由二力平衡可知F＝Mg

②设时间内，从喷口喷出的水的体积为，质量为，

则，

由以上两式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为

（2）水柱上端较粗，下端较细。任意横截面流速相等，下端水柱速度较上端水柱的速度大，由Q=Sv,（S为水柱截面积，v为水柱中水的流速）可知，上端水柱截面较大。

（3）设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为。

对于时间内喷出的水，有能量守恒定律得

在高度处， 时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为

设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有

由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件得

联立以上各式得