Question

10．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船绕着该星球做匀速圆周运动，测得其周期为T₁，轨道半径为r₁；随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球表面很近的轨道上做匀速圆周运动，测得其周期为T₂．已知万有引力常量为G．求：
（1）该星球的质量；
（2）星球表面的重力加速度．（不考虑星球的自转）

Answer 1

分析 （1）飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力的周期表达式，化简可得该星球的质量M．
（2）对于星球表面上的物体受到的重力等于万有引力，在结合开普勒第三定律，化简可得星球表面的重力加速度．

解答 解：（1）设星球质量为M，飞船质量为m₁
万有引力提供圆周运动向心力：
$G\frac{M{m}_{1}}{{{r}_{1}}^{2}}=m{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：
$M=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．
（2）设星球表面上重力加速度为g，半径R，登陆舱质量为m₂
$G\frac{M{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$
$G\frac{M{m}_{2}}{{{r}_{2}}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$
解得：
$g=4{π}^{2}{r}_{1}\root{3}{（\frac{1}{{T}_{1}^{2}{T}_{2}^{2}}）^{2}}$．
答：
（1）该星球的质量$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$；
（2）星球表面的重力加速度$4{π}^{2}{r}_{1}\root{3}{{（\frac{1}{{T}_{1}^{2}{T}_{2}^{2}}）}^{2}}$．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力和星球表面的物体受到的重力等于万有引力这两个关系，要知道开普勒第三定律的表达式．