题目内容
如图a所示，平行金属板A、B间的电压UAB=200V，B板有一小孔O，靠近B板有一固定的绝缘圆筒，其横截面半径R=
m，O′在圆筒轴线上，筒壁有小孔H，O′HO共线且连线与圆筒轴线、B板均垂直，交A板于P点．现有一比荷
=100C/kg的带正电粒子，从A板上的P点附近由静止释放，在电场力作用下沿OO′方向射入圆筒．从粒子进入圆筒开始（计时零点），在圆筒内加入方向与轴线平行的交变磁场，磁感应强度随时间变化如图b（垂直纸面向里为磁场正方向），粒子在磁场力作用下发生偏转并与筒壁碰撞．（粒子与筒壁碰撞前后动能和电量均不变，且不计重力，忽略碰撞所用时间及磁场变化产生的感应影响．）问：
（1）粒子第一次到达O点时的速率为多大？
（2）如果图b中的t1时刻就是粒子进入圆筒后第一次碰撞到圆筒的时刻，t1的值是多少？
（3）如果图b中的t1和t1+t2时刻分别是粒子进入圆筒后第一次和第二次碰撞到圆筒的时刻，要使粒子能做周期性的往返运动，则金属板A和B间的距离d至少为多大？
| 3 |
| q |
| m |
（1）粒子第一次到达O点时的速率为多大？
（2）如果图b中的t1时刻就是粒子进入圆筒后第一次碰撞到圆筒的时刻，t1的值是多少？
（3）如果图b中的t1和t1+t2时刻分别是粒子进入圆筒后第一次和第二次碰撞到圆筒的时刻，要使粒子能做周期性的往返运动，则金属板A和B间的距离d至少为多大？
分析：（1）电场力对粒子做正功，可以求出粒子达到O的速度；
（2）粒子进入圆筒后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出运动的周期，再根据偏转角与周期的关系即可求出t；
（3）分别求出两种情况下的半径与周期，画出运动的轨迹图象，再根据题目的几何关系方向满足的条件．
（2）粒子进入圆筒后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出运动的周期，再根据偏转角与周期的关系即可求出t；
（3）分别求出两种情况下的半径与周期，画出运动的轨迹图象，再根据题目的几何关系方向满足的条件．
解答：解：（1）两种从A到B的过程中，电场力做正功，根据动能定理得：
qUAB=
mv2
代人数据，解得：
v=200m/s
（2）粒子进入圆筒后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
得：qvB1=
T1=
粒子运动的轨迹如图，由几何关系可知，tan
=
=
粒子转过的圆心角θ为120°
需要的时间：t1=
=
×10-2s
（3）在t1～t1+t2的时间内，粒子运动的半径：
r2=
=3m
周期：T2=
=3π×10-2s
由几何关系可知，tan
=
=
粒子转过的圆心角θ′为60°，需要的时间：
t2=
=
×10-2s
要使粒子做周期性的往返运动，粒子在AB板之间的运动时间至少是t2
轨迹匀变速运动的规律有：d=
at2
又：qE=ma
E=
t=
t2
代人数据求得：d=25π×10-2m=0.785m
qUAB=
| 1 |
| 2 |
代人数据，解得：
v=200m/s（2）粒子进入圆筒后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
得：qvB1=
| mv2 |
| r1 |
T1=
| 2πm |
| qB1 |
粒子运动的轨迹如图，由几何关系可知，tan
| θ |
| 2 |
| R |
| r1 |
| 3 |
粒子转过的圆心角θ为120°
需要的时间：t1=
| T1 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（3）在t1～t1+t2的时间内，粒子运动的半径：
r2=
| mv |
| qB2 |
周期：T2=
| 2πm |
| qB2 |
由几何关系可知，tan
| θ′ |
| 2 |
| R |
| r2 |
| ||
| 3 |
粒子转过的圆心角θ′为60°，需要的时间：
t2=
| T2 |
| 6 |
| π |
| 2 |
要使粒子做周期性的往返运动，粒子在AB板之间的运动时间至少是t2
轨迹匀变速运动的规律有：d=
| 1 |
| 2 |
又：qE=ma
E=
| U |
| d |
t=
| 1 |
| 2 |
代人数据求得：d=25π×10-2m=0.785m
点评：解决该题的关键是根据题目的要求，正确画出粒子运动的轨迹，并根据几何关系写出粒子的半径与磁场的半径的关系．该题对空间思维的能力要求比较高．
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