Question

18．如图所示，在竖直平面内有xOy坐标系，长为l的不可伸长细绳，一端固定在A点，A点的坐标为（0、$\frac{l}{3}$），另一端系一质量为m的小球．现在x坐标轴上（x＞0）固定一个小钉，拉小球使细绳绷直并呈水平位置，再让小球从静止释放，当细绳碰到钉子以后，小球可以绕钉子在竖直平面内做圆周运动．
（1）当钉子在x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P点时，小球经过最低点时细绳承受的拉力；
（2）为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，钉子至少距O点多远．

Answer 1

分析 （1）由数学知识求出小球做圆周运动的轨道半径，由机械能守恒定律求出小球到达最低点时的速度，然后由牛顿第二定律求出绳子的拉力．
（2）由牛顿第二定律求出小球到达最高点的速度，由机械能守恒定律求出钉子的位置，然后确定钉子位置范围．

解答 解：（1）当钉子在x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P点时，小球绕钉子转动的半径为：
R1=l-$\sqrt{（\frac{l}{3}）^{2}+{x}^{2}}$
小球由静止到最低点的过程中机械能守恒：
mg（$\frac{l}{3}$+R₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
在最低点细绳承受的拉力有：F-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得最大拉力为：F=5mg   
（2）小球绕钉子圆周运动恰好到达最高点时，有：
mg=$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$
运动中机械能守恒：mg（$\frac{l}{3}$-R₂）=$\frac{1}{2}$mv₂²
钉子所在位置为：x'=$\sqrt{（l-{R}_{2}）^{2}-（\frac{l}{3}）^{2}}$
联解得：x'=$\frac{2\sqrt{10}}{9}$l
答：（1）当钉子在x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$l的P点时，小球经过最低点时细绳承受的拉力为5mg
（2）为使小球释放后能绕钉子在竖直平面内做圆周运动，钉子至少距O点$\frac{2\sqrt{10}}{9}$l．

点评 本题应明确小球在运动过程中只有重力做功，机械能守恒，应用机械能守恒定律与牛顿第二定律即可正确解题；解题时要注意，小球恰好到达最高点时，重力提供向心力．