Question

17．如图所示，在竖直平面内固定两个很靠近的同心圆轨道，外圆内表面光滑，内圆外表面粗糙，一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v₀向右运动．球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）

• A． 若v₀=$\sqrt{4gR}$，则小球在整个运动过程克服中摩擦力做功等于mgR
• B． 若使小球在最低点的速度v₀大于$\sqrt{5gR}$，则小球在整个运动过程中，机械能守恒
• C． 若小球要做一个完整的圆周运动，小球在最低点的速度v₀必须大于等于$\sqrt{5gR}$
• D． 若小球第一次运动到最高点，内环对小球的支持力为0.5mg，则小球在最低点对外圆环的压力为5.5mg

Answer 1

分析 内圆粗糙，小球与内圆接触时要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，机械能不守恒；外圆光滑，小球与外圆接触时不受摩擦力作用，只有重力做功，机械能守恒，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律分析答题．

解答 解：AB、若使小球始终做完整的圆周运动，小球应沿外圆内侧运动，在运动过程中不受摩擦力，机械能守恒，小球恰好运动到最高点时速度设为v，则有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
小球在最低点时的最小速度为：v₀=$\sqrt{5gR}$，
所以若使小球始终做完整的圆周运动，则v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$，故B正确；
若v₀=$\sqrt{4gR}$，小球在运动过程中一定与内圆接触，机械能不断减少，经过足够长时间，小球最终可能在圆心下方做往复运动，最高点与圆心等高，机械能为mgR，
最低点的机械能为：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=2mgR，
故小球在整个运动过程中机械能损失mgR，即克服中摩擦力做功等于mgR，故A正确；
C、若小球的速度小于$\sqrt{5gR}$，也是有可能做完整的圆周运动的，只是最终在圆心下方做往复运动，故C错误；
D、若小球第一次运动到最高点，内环对小球的支持力为0.5mg，根据牛顿第二定律，有：
mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，
故最高点机械能：E₁=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+mg•2R$=$\frac{11}{4}mgR$；
若小球在最低点对外圆环的压力为5.5mg，对小球：5.5mg-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
解得：v₂=$\sqrt{\frac{9}{2}gR}$，
故最低点机械能为：E₂=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$+mg•2R=$\frac{11}{4}mgR$，
即机械能守恒，而最低点速度v₀小于$\sqrt{5gR}$，机械能应该减小，矛盾，故D错误；
故选：AB

点评 本题的关键是理清运动过程，抓住临界状态，明确最高点的临界条件，运用机械能守恒定律和向心力知识结合进行研究．