Question

15．如图所示，在直角坐标平面的第I象限内有一垂直纸面向内的匀强磁场；磁感应强度为B，直线OA是磁场右侧的边界．在第Ⅱ象限，存在电场强度为E的水平向左的匀强电场，y轴是电场、磁场区域的分界线，曲线OM满足方程x=-ky²（k＞0）．有一电量为-q（q＞0），质量为m的粒子（重力不计），在曲线OM上某一点由静止释放，穿过y轴进入磁场中．
（1）试写出带电粒子穿过y轴时的速度大小与释放点纵坐标的关系式；
（2）若粒子从曲线OM上任意位置释放，要求粒子穿过磁场区域后，都垂直于x轴射出．求直线OA与x轴的夹角θ的正切值．（用题中已知物理量的符号表示）

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，结合OM满足方程x=-ky²（k＞0）求出带电粒子穿越y轴时的速度与释放点纵坐标的关系式．
（2）粒子进入匀强磁场做匀速圆周运动，粒子都垂直x轴射出，则粒子偏转90°，从而得知粒子射出磁场的点的x坐标值为圆周运动的半径r，纵坐标为y-r，根据几何关系，结合r与速度的关系，求出直线OA与x轴的夹角正切值tanθ

解答 解：（1）设粒子释放点的坐标为（x，y），则粒子受电场力作用作匀加速直线运动到y轴，由动能定理得：
qE（-x）=$\frac{1}{2}$mv²
又x=-ky²（k＞0）．
联立解得：v=$\sqrt{\frac{2qEk}{m}}•y$，即速度v与纵坐标成正比．
（2）入射点为y坐标的粒子，其速率为v=by，b=$\sqrt{\frac{2qEk}{m}}$，进入磁场后做圆周运动的轨道半径为r，有：
$qvB=m\frac{v^2}{r}$
得：r=$\frac{mv}{qB}$
最后粒子都垂直x轴射出，则粒子偏转90°，所以粒子射出磁场的点的x坐标值为r，由几何关系可得，OA直线上任一点的坐标为：（r，y-r）
则tanθ=$\frac{y-r}{r}$
解得：tanθ=B$\sqrt{\frac{q}{2kmE}}-1$．
答：（1）带电粒子穿越y轴时的速度与释放点纵坐标的关系式为v=$\sqrt{\frac{2qEk}{m}}•y$
（2）直线OA与x轴的夹角正切值为B$\sqrt{\frac{q}{2kmE}}-1$．

点评 本题是带电粒子在复合场中的运动，综合运用了动能定理和牛顿第二定律，结合数学几何关系进行求解