Question

【题目】如图所示，两根等高光滑的 圆弧轨道，半径为r、间距为L，轨道电阻不计．在轨道顶端连有一阻值为R的电阻，整个装置处在一竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B．现有一根长度稍大于L、质量为m、电阻不计的金属棒从轨道的顶端ab处由静止开始下滑，到达轨道底端cd时受到轨道的支持力为2mg．整个过程中金属棒与导轨电接触良好，求：

（1）棒到达最低点时的速度大小和通过电阻R的电流．
（2）棒从ab下滑到cd过程中回路中产生的焦耳热和通过R的电荷量．
（3）若棒在拉力作用下，从cd开始以速度v0向右沿轨道做匀速圆周运动到达ab
①请写出杆在运动过程中产生的瞬时感应电动势随时间t的变化关系？
②在杆到达ab的过程中拉力做的功为多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：棒在最低点，根据牛顿第二定律得

N﹣mg=m

由题得 N=2mg

可得 v=

棒经过最低点时产生的感应电动势为 E=BLv=BL

通过电阻R的电流 I= =

（2）

解：整个过程中系统能量守恒得：

回路中产生的焦耳热 Q=mgr﹣ = mgr

根据法拉第电磁感应定律得：

=

感应电流的平均值 =

通过R的电荷量 q= △t

联立得 q=

又△Φ=BLr

所以可得 q=

（3）

解：①金属棒在运动过程中水平方向的分速度 vx=v0cosωt

又 v0=ωr

金属棒切割磁感线产生的余弦交变电：e=BLvx=BLv0cos

②四分之一周期内，电流的有效值：I=

由能量守恒得：拉力做的功 W=mgr+Q

由焦耳定律得 Q=I2R

T=

解得：W=mgr+

【解析】（1）金属棒在cd端时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出棒到达最低点时的速度．由E=BLv求出感应电动势，再由欧姆定律求通过R的电流．（2）根据能量守恒定律求回路中产生的焦耳热．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式推导出电量表达式q= ，来求通过R的电荷量．（3）①棒沿轨道做匀速圆周运动，求出金属棒在运动过程中水平方向的分速度vx ， 再由E=BLvx求瞬时感应电动势．
②金属棒切割磁感线产生余弦交变电，求感应电动势的有效值，再由功能关系求拉力做的功．
【考点精析】解答此题的关键在于理解焦耳定律的相关知识，掌握焦耳定律:Q=I2Rt，式中Q表示电流通过导体产生的热量，单位是J.焦耳定律无论是对纯电阻电路还是对非纯电阻电路都是适用的．