Question

13．如图所示，木块的质量为M，系在长为L的轻绳的一端，轻绳另一端系在水平轴上，木块的尺寸远小于绳长．质量为m的子弹，以v₀的水平速度射入木块，其作用时间极短并停留在木块中．现要求木块运动后绳子始终不松弛．求子弹的初速度应该满足怎样的条件？

Answer 1

分析 要使木块运动后绳子始终不松弛，木块的运动有两种情况：一是木块的速度较大，能做完整圆周运动，二是木块的速度较小时做不完整圆周运动，不过圆心等高处．根据牛顿第二定律求出在最高点的最小速度，再根据机械能守恒定律求出子弹与木球在最低点的最小速度，最后通过动量守恒定律求出木块做完整圆周运动时子弹的最小初速度．由机械能守恒定律求得木块做不完整圆周运动时子弹的最大速度，从而得到子弹初速度的范围．

解答 解：子弹击中木块时，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（m+M）v
得：v=$\frac{m{v}_{0}}{M+m}$
下面分两种情况：
（1）木块不过圆心等高处．由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$（m+M）v²≤（m+M）gL    
解得：v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$
（2）木块能做完整的圆周运动．由机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$（m+M）v²=2（m+M）gL+$\frac{1}{2}$（m+M）v₁²
在最高点时，有：（m+M）$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$≥（m+M）g
联立解得：v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$
所以要求木块运动后绳子始终不松弛，子弹的初速度应该满足的条件是v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$．
答：要求木块运动后绳子始终不松弛，子弹的初速度应该满足的条件是v₀≤$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{2gL}$或v₀≥$\frac{M+m}{m}$$\sqrt{5gL}$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律以及牛顿第二定律，关键理清整个运动过程，把握隐含的临界情况，要分两种情况进行讨论，不能漏解．