题目内容
5.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星,若这颗卫星距该天体表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T1,则该天体的质量为$\frac{4{π}^{2}{(R+h)}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$,若它贴着该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2,则该天体的密度为$\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$.分析 根据万有引力提供向心力求出天体的质量,结合天体的体积求出天体的密度.
解答 解:若这颗卫星距该天体的表面的高度为h,测得在该处做圆周运动的周期为T1,
根据$G\frac{Mm}{{(R+h)}^{2}}=m(R+h)\frac{4{π}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$得,
天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{(R+h)}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$.
它贴着该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T2,根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$得,天体的质量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}$.
则天体的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}_{2}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$.
故答案为:$\frac{4{π}^{2}{(R+h)}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$,$\frac{3π}{G{T}_{2}^{2}}$
点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论,结合轨道半径和周期求解中心天体的质量.
练习册系列答案
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