Question

20．如图所示，用折射率n=$\sqrt{2}$的玻璃做成一个外径为R的半球形空心球壳．一束与O′O平行的平行光射向此半球的外表面，若让一个半径为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$的圆形遮光板的圆心过O′O轴，并且垂直该轴放置．则球壳内部恰好没有光线射入．求：
（1）临界光线射入球壳时的入射角θ₁和折射角θ₂
（2）球壳的内径R′．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出临界光线射入球壳时入射角的正弦，结合折射定律求出折射角的大小．
（2）根据全反射的条件，通过折射定律求出临界角的大小，从而根据正弦定理求出球壳的内径R′

解答 解：（1）由题图和几何知识得：sinθ₁=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ₁=45°
由折射率的定义式为：n=$\frac{sin{θ}_{1}}{sin{θ}_{2}}$=$\sqrt{2}$
联立解出得：θ₂=30°
（2）对临界光线为：sinC=$\frac{1}{n}$
在题图△oab中，由正弦定理：$\frac{R}{sin（180°-C）}$=$\frac{R′}{sin{θ}_{2}}$
联立解得：R′=R．                                               
答：（1）临界光线射入球壳时的入射角θ₁和折射角θ₂分别为45°和30°．
（2）球壳的内径R′为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$R．

点评 本题考查了折射定律以及全反射知识，对数学几何能力的要求较高，需加强这方面的训练．