Question

如图甲足够长的平行光滑金属导轨ab、cd倾斜放置，两导轨之间的距离为L=0.5m，导轨平面与水平面间的夹角为θ=30°，导轨上端a、c之间连接有一阻值为R₁=4Ω的电阻，下端b、d之间接有一阻值为R₂=4Ω的小灯泡．有理想边界的匀强磁场垂直于导轨平面向上，虚线ef为磁场的上边界，ij为磁场的下边界，此区域内的感应强度B，随时间t变化的规律如图乙所示，现将一质量为m=0.2kg的金属棒MN，从距离磁场上边界ef的一定距离处，从t=0时刻开始由静止释放，金属棒MN从开始运动到经过磁场的下边界ij的过程中，小灯泡的亮度始终不变．金属棒MN在两轨道间的电阻r=1Ω，其余部分的电阻忽略不计，ef、ij边界均垂直于两导轨．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小灯泡的实际功率；
（2）金属棒MN穿出磁场前的最大速率；
（3）整个过程中小灯泡产生的热量．

Answer 1

（1）由于小灯泡的亮度始终不变，说明金属棒MN进入磁场后作匀速直线运动，速度达到最大，由平衡条件得：mgsinθ=BIL，得：I=1A，
小灯泡的电功率：p=(

I

2

)2R2
得：P=1W
（2）由闭合电路的欧姆定律得：I=

E

R

，其中，总电阻：R=

R1

2

+r，
由法拉第电磁感应定律得：E=BLv
由以上各式代入数据解得：v=3m/s
（3）金属棒进入磁场前，由牛顿第二定律得：加速度a=gsin30°=5m/s²
进入磁场前所用的时间：t1=

v

a

，
得：t₁=0.6s，
设磁场区域的长度为x．在0-t₁时间内，由法拉第电磁感应定律得：E=n

△Φ

△t

=

Lx(B-0)

t1

=

LxB

t1

，
金属棒MN进入磁场前，总电阻：R=

R1r

R1+r

+R₂
又感应电动势E=

I

2

R，
所以x=1.44m，
在磁场中运动的时间：t2=

x

v

=0.48s，
整个过程中小灯泡产生的热量：Q=(

I

2

)2R2?(t1+t2)
代入数据解得：Q=1.08J
答：（1）小灯泡的实际功率为1W；（2）金属棒MN穿出磁场前的最大速率为3m/s；（3）整个过程中小灯泡产生的热量为1.08J．