题目内容
【题目】MN和M′N′为两竖直放置的平行光滑长直金属导轨，两导轨间的距离为L。在导轨的下部有垂直于导轨向里的匀强磁场，磁感应强度为B。金属棒ef的长度为L、质量为m、电阻可忽略不计。在以下讨论中，假设导轨足够长，磁场区域足够大，金属棒ef与导轨垂直并良好接触，导线和各接触处的电阻不计，电路的电感、空气的阻力可忽略，已知重力加速度为g。
（1）如图甲所示，当在导轨的MM′端通过导线将阻值为R的定值电阻连接，在t=0时无初速度地释放金属棒ef，求金属棒所能达到的最大速度vm的大小。
（2）如图乙所示，当在导轨的MM′端通过导线将电容为C、击穿电压为Ub、正对面积为S、极板间可认为是真空、极板间距为d的平行板电容器连接，在t=0时无初速度地释放金属棒ef。
①求电容器达到击穿电压所用的时间；
②金属棒ef下落的过程中，速度逐渐变大，感应的电动势逐渐变大，电容器极板上的电荷量逐渐增加，两极板间存储的电场能也逐渐增加。单位体积内所包含的电场能称为电场的能量密度。已知平行板电容器的电容的大小可表示为
，
为真空中的介电常数。证明：平行板电容器两极板间的空间内的电场能量密度
与电场强度E的平方成正比，并求出比例系数。结果用和一些数字的组合表示。
【答案】（1）
（2）①
②能量密度ω与电场强度E的平方成正比，且比例系数为
【解析】（1）当金属棒匀速运动时，金属棒受到的安培力和重力是一对平衡力，即F安=mg
又因为
所以，金属棒此时的速度大小为
（2）①在电容器达到击穿电压前，设任意时刻t，流过金属棒的电流为i，由牛顿第二定律，金属棒的加速度a满足 mg-BiL=ma
设在
的时间内，金属棒的速度
，电容器两端的电压
、电容器的带电量
，由电流的定义、电量电压和电容间的关系、电磁感应定律以及加速度的定义得
将此式和上式联立得 
可见，金属棒做初速度为0的匀加速直线运动，当电容器达到击穿电压时，金属棒的速度为
所以，电容器达到击穿电压所用的时间为
②当电容器两极板间的电荷量增加无穷小量
时，极板间的电压可认为始终为Ui，增加的电场能可用图1中左边第1个阴影部分的面积表示；同理，当电容器两极板间的电荷量增加无穷小量
时，极板间的电压可认为始终为Ui+1，增加的电场能可用图1中第2个阴影部分的面积表示；依次类推，所以在图2中，阴影部分的面积表示电容器的带电量为Q′、两端电压为U′时，两极板间电场能的大小E′，所以
根据题意有
将
、
、
带入上式，整理得
所以，能量密度ω与电场强度E的平方成正比，且比例系数为.
