Question

2．如图所示，在xoy平面内，直线MN与x轴正方向成30°角，MN下方是垂直于纸面向外的匀强磁场，MN与y轴正方向间存在电场强度E=$\frac{2}{3}×1{0^6}N/C$的匀强电场，其方向与y轴正方向成60°角且指向左上方，一带正电的粒子（重力不计），从坐标原点O沿x轴正方向进入磁场，测得该粒子经过磁场的时间t₁=$\frac{π}{6}×{10^{-6}}s$，已知粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁷C/kg．试求：
（1）磁感应强度的大小B；
（2）粒子从坐标原点开始到第一次到达y轴正半轴的时间t；
（3）若粒子的速度v₀=1.0×10⁶m/s，求粒子第二次到达y轴正半轴时的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系与周期公式，即可求解；
（2）根据几何关系，确定已知长度与运动半径的关系，再由牛顿第二定律与向心力，从而求出运动的时间；
（3）根据运动学公式，由牛顿第二定律，结合几何关系，即可求解．

解答 解：（1）由几何关系可知：图中圆心角为300°，
则：${t_1}=\frac{5T}{6}$
又$T=\frac{2πm}{Bq}$
解得  B=1.0  T
（2）设粒子在磁场中运动的半径为r，速度为v，由几何关系可知∠QPO=30°，POQ为等腰三角形，所以PO=OQ=r，PQ=$\sqrt{3}r$，故
$t={t_1}+\frac{{\sqrt{3}r}}{v}$
$Bqv=\frac{{m{v^2}}}{r}$．
由以上各式联立得  $t={t_1}+\sqrt{3}\frac{m}{Bq}=（\frac{π}{6}+\frac{{\sqrt{3}}}{10}）×{10^{-6}}s≈7×{10^{-7}}s$
（3）粒子进入电场后做类平抛，设垂直于电场方向的距离为m，电场方向的距离为n，粒子离开电场时经过y轴，其位置坐标为A（0，d），所以$n=\frac{1}{2}a{t^2}$
m=v₀t
$a=\frac{Eq}{m}$
$\frac{n}{m}=tan{30^0}$
又$Bq{v_0}=\frac{mv_0^2}{r}$$r+\frac{n}{{sin{{30}^0}}}=d$
联立以上各式得d=0.3m 
粒子第二次到达y轴正半轴时的位置坐标是（0，0.3m）．
答：（1）磁感应强度的大小1.0T；
（2）粒子从坐标原点开始到第一次到达y轴正半轴的时间7×10^-7s；
（3）粒子第二次到达y轴正半轴时的位置坐标（0，0.3m）．

点评 考查粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，掌握两种运动的处理方法及其规律，注意几何关系的正确建立．