Question

14．如图所示，质量为m=1kg的小球用长为L=1kg的细线悬挂在O点，O点距地面的高度为h=1.25m，已知细线能承受的最大拉力为F=20N，g=10m/s²，如果使小球绕OO′轴在水平面内做圆周运动．求：
（1）当小球的角速度为多大时，细线将断裂；
（2）细线断裂后，小球落地点与O′间的水平距离．

Answer 1

分析 （1）小球靠拉力和重力的合力提供向心力，根据几何关系求出最大向心力，根据向心力公式求出角速度；
（2）绳断裂后，小球做平抛运动，根据平抛运动的基本公式即可求解．

解答 解：（1）绳的拉力和重力的合力充当向心力．设绳断裂时与竖直方向的夹角为α，
在竖直方向上有：Fcosα=mg，即：20cosα=1×10，
解得：cosα=$\frac{1}{2}$，α=60⁰，
根据牛顿第二定律有：mgtan60°=mLsin60°ω³
代入数据解得：ω=2$\sqrt{10}$rad/s
（2）线断后小球做平抛运动，
初速度为：v₀=ωLsin60°=$\frac{\sqrt{30}}{2}$m/s
小球落地的位移为：y=h-Lcos60°
设小球落地时间为t，则：y=$\frac{1}{2}$gt²
水平位移为：x=v₀t
小球落地点与O′间的水平距离为：d=$\sqrt{{L}^{2}si{n}^{2}α+{x}^{2}}$
联立以上各式代入数据解得：d=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m
答：（1）当小球的角速度为2$\sqrt{10}$rad/s时细线将断裂；                
（2）线刚好拉断时的位置与球落地点的水平距离为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$m．

点评 解决本题的关键搞清小球做圆周运动向心力的来源，找到圆周，定出半径，运用牛顿第二定律进行求解；对于第二问得求解，注意空间的几何关系．