题目内容

精英家教网如图所示，一个光滑、绝缘水平高台的右面空间中存在范围足够大且水平向左的匀强电场，高台边缘静置一个带电量为+q、质量为m的小球B，另有一个绝缘不带电的小球A（大小与小球B相同，质量大于m）以初速度v0向B运动，A与B发生弹性碰撞后水平进入电场，发生再次碰撞后落到水平地面．已知匀强电场的电场场强为E=
2mgq
，重力加速度为g．（小球A、B碰撞过程中电荷不发生转移）
（1）如果小球A的质量为3m，求：
①小球A、B发生弹性碰撞（首次碰撞）后各自的速度；
②小球A、B再次碰撞前运动过程中相距的最大距离；
③B小球在电场中与A小球再次碰撞前具有的动能；
（2）如果保持B的质量不变，改变A的质量，其它条件不变，A、B小球再次碰撞前运动过程中相距的最大距离及再次碰撞发生的高度是否发生变化？试证明你的结论．
分析：（1）①小球A、B发生弹性碰撞的过程中动量守恒、动能守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出碰后各自的速度大小．
②A球不带电，所以出平台后做平抛运动，在竖直方向做自由落体，水平为匀速运动； B球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做类竖直上抛运动（假定向右为上），所以两球在竖直方向运动情况相同，始终保持在同一高度．当两球水平速度相等时，相距最远；也可以求出在时间t内两球在水平方向上的位移，根据二次函数求极值的方法求出最大距离．
③两球再次相碰时，在水平方向上的位移相等．根据运动学公式求出相遇的时间，从而求出竖直方向上位移，根据动能定理求出B的动能．
（2）如果保持B的质量不变，改变A的质量，其它条件不变，根据动量守恒定律和能量守恒定律求出碰后两球的速度之差，看是否与小球的质量有关，从而根据运动学公式判断再次碰撞前运动过程中相距的最大距离及再次碰撞发生的高度是否发生变化．
解答：解：（1）①A与B发生弹性碰撞   3mv0=3mv1+mv2…①
1
2
×3m
v
2
0
=
1
2
×3m
v
2
1
+
1
2
m
v
2
2
…②
联立①②解得 v2=
3
2
v0，v1=
1
2
v0
②A球不带电，所以出平台后做平抛运动，在竖直方向做自由落体，水平为匀速运动； B球在竖直方向做自由落体运动，在水平方向做类竖直上抛运动（假定向右为上），所以两球在竖直方向运动情况相同，始终保持在同一高度．xA=v1t…③
xB=v2t-
1
2
axt2…④
B球在水平方向上的加速度为 aBx=
Eq
m
=
2mg
q
q
m 
=2g…⑤
所以：在飞行过程中A与B的距离为△x=xB-xA=(v2-v1)t -gt 2=v0t -g
t
2
 

△x=-(
g
t -
v0
2
g
)2+
v
2
0
4g

所以当t1=
v0
2g
时，△x有最大值为
v
2
0
4g

③再次发生碰撞时有xA=xB…⑥
联立③④⑤⑥解得发生再次碰撞的时间t2=
v0
g
，xA=
v
2
0
2g

再次碰撞点离平台的高度h=
1
2
gt22=
v
2
0
2g
…⑦
由动能定理mgh-EqxA=EB-
1
2
m
v
2
2
…⑧
解得EB=
5
8
m
v
2
0

（2）如果保持B的质量不变，改变A的质量，
A与B发生弹性碰撞m1v0=m1v1+m2v2…⑨
1
2
m1
v
2
0
=
1
2
m1
v
2
1
+
1
2
m2
v
2
2
…⑩
联立⑨⑩解得v2-v1=v0（与A、B小球质量无关）  
所以在飞行过程中A与B的距离为△x=v0t/1-g
t/
2
1

仍有当t/1=
v0
2g
时，△x有最大值为
v
2
0
4g
，A、B小球再次碰撞前运动过程中相距的最大距离不发生改变．
同理发生再次碰撞的时间始终为t2/=
v0
g
，所以再次碰撞点离平台的高度为h=
1
2
gt22=
v
2
0
2g
，不发生改变，即再次碰撞发生一个固定高度．
答：（1）小球A、B发生弹性碰撞（首次碰撞）后各自的速度为
1
2
v0、
3
2
v0．
小球A、B再次碰撞前运动过程中相距的最大距离为
v
2
0
4g
．
B小球在电场中与A小球再次碰撞前具有的动能EB=
5
8
m
v
2
0
．
（2）A、B小球再次碰撞前运动过程中相距的最大距离及再次碰撞发生的高度不改变．
点评：本题综合运用了动量守恒定律、能量守恒定律、牛顿第二定律以及运动学公式，综合性较强，对学生的能力要求较高，是道难题．
练习册系列答案
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（1）当v1=
1
6
gL
时，绳对小球的拉力T1和圆筒壁对小球的支持力N1
（2）当v2=
3
2
gL
时，绳对小球的拉力T2和圆筒壁对小球的支持力N2．

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