Question

19．如图所示，竖直平面内有一个半径为R的半圆形轨道OQP，其中Q是半圆形轨道的中点，半圆形轨道与水平轨道OE在O点相切，质量为m的小球沿水平轨道运动，通过O点进入半圆形轨道，恰好能够通过最高点P，然后落到水平轨道上的A点，不计一切摩擦阻力，
求：（1）小球落地时的动能为多大？
（2）小球落地点离O点的距离为多大？
（3）小球到达Q点的速度大小为多少？

Answer 1

分析 小球恰好通过P点，重力恰好等于向心力，根据向心力公式求出P点的速度，进而求出P点的机械能，整个运动过程中机械能守恒，则小球落地时的动能等于P点的机械能；小球离开P点后做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求解小球落地点离O点的距离，根据动能定理求解小球到达Q点的速度大小．

解答 解：（1）在最高点，重力提供向心力，则
mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$
以水平轨道平面为零势能面，根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}+mg•2R$=2.5mgR；
（2）小球离开P点后做平抛运动，则运动时间为：t=$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$，
则水平位移为：x=v₀t=2R
（3）小球从Q点运动到P点的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{Q}^{2}=-mgR$
解得解得：${v}_{Q}=\sqrt{3gR}$，
答：（1）小球落地时的动能为2.5mgR
（2）小球落地点离O点的距离为2R
（3）小球到达Q点的速度大小为$\sqrt{3gR}$

点评 本题关键是明确小球的运动情况，然后分过程运用机械能守恒定律、平抛运动的分位移公式和向心力公式列式求解．