Question

15．如图所示，两个质量分别为m_A═2kg、m_B=1kg的A、B小球由长为L=4m的轻杆组成系统，水平面上的M、N两点间是距离为x_MN=5m的粗糙平面，其余部分表面光滑，小球A、B与MN面的动摩擦因数分别为μ₁=0.5、μ₂=0.2．最初，球B静止在M点．两球均可视为质点，不计轻杆质量，现对B球施加一水平向右的拉力F=8N，取g=10m/s²，求：
（1）A球刚经过M点时系统的速度大小；
（2）若当A球经过M点时立即撤去F，最后A、B两球静止，求B球从开始到静止所需时间以及B球发生的位移．

Answer 1

分析 （1）运用动能定理求A球刚经过M点时系统的速度．
（2）先根据动能定理求出B球到达N点时系统的速度，由位移等于平均速度乘以时间，求出时间．再由动能定理求出A继续在MN上滑行的距离，用平均速度求出时间．

解答 解：（1）设A球刚经过M点时系统的速度大小为v₁；
根据动能定理得：
   （F-μ₂m_Bg）L=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{1}^{2}$-0
解得，v₁=4m/s
（2）设B从M运动L距离的时间为t₁，则 L=$\frac{{v}_{1}}{2}{t}_{1}$
解得 t₁=2s
假设B球能到达N点，且经过N点时系统的速度大小为v₂；根据动能定理得
    （-μ₁m_Ag-μ₂m_Bg）（x_MN-L）=$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{1}^{2}$
解得 v₂=2$\sqrt{2}$m/s
B球从撤去F到运动到N点的时间为t₂，则
   x_MN-L=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{2}$
解得 t₂=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$s
设B球从N点向右能滑行的距离为x．运动时间为t₃．根据动能定理得
-μ₁m_Agx=0-$\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{2}^{2}$
解得 x=1.2m
由x=$\frac{{v}_{2}}{2}{t}_{3}$得 t₃=$\frac{6}{5}\sqrt{2}$s
故B球从开始到静止所需时间 t=t₁+t₂+t₃=3$+\frac{7}{10}\sqrt{2}$（s）
位移为 x_总=x_MN+x=6.2m
答：
（1）A球刚经过M点时系统的速度大小是4m/s．
（2）B球从开始到静止所需时间是（3$+\frac{7}{10}\sqrt{2}$）s，位移为6.2m．

点评 解决本题的关键理清系统在整个过程中的运动情况，分段运用动能定理和运动学公式研究．要注意两个小球所受的摩擦力不同．