Question

2．如图所示，电阻不计的两光滑平行金属导轨相距L，固定在水平绝缘桌面上，其中半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘垂直平齐．两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好．棒ab质量为2m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r，重力加速度为g，开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上，棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为2：1．求：
（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
（2）棒cd在水平导轨上的最大加速度；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）ab棒在圆弧上下滑的过程中机械能守恒，由此可求得ab棒刚进入磁场时的速度．棒ab和棒cd离开导轨做平抛运动，根据平抛运动的规律和水平位移之比列式，可求得棒ab和棒cd离开导轨时速度大小之比．两棒都在轨道上运动时系统的合外力为零，遵守动量守恒，由动量守恒定律列式，联立即可求解．
（2）MN棒刚进入水平导轨时，MN棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．根据MN棒从圆弧导轨滑下机械能定恒求解进入磁场之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL结合求出安培力，即可由牛顿第二定律求解最大加速度．
（3）两棒开导轨做平抛运动，根据平抛运动的规律和水平位移之比求解，根据根据动量定恒和能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热．

解答 解：（1）设ab棒进入水平导轨的速度为v，ab棒从圆弧导轨滑下机械能守恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv²
解得：v=$\sqrt{2gR}$
两棒离开导轨时，设ab棒的速度为v₁，cd棒的速度为v₂．
两棒离开导轨后做平抛运动的时间相等，由平抛运动水平位移x=v₀t可知
   v₁：v₂=x₁：x₂=2：1 
两棒均在水平导轨上运动时，系统的合外力为零，遵守动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得：
 2mv=2mv₁+mv₂
联立解得 v₁=$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gR}$，v₂=$\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$
（2）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大．
ab棒刚进入水平导轨时，设此时回路的感应电动势为E，则
 E=BLv 
感应电流 I=$\frac{E}{2r}$
cd棒受到的安培力为：F=BIL
根据牛顿第二定律，cd棒有最大加速度为
 a=$\frac{F}{m}$
联立解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$
（3）根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为
  Q=$\frac{1}{2}$×2mv²-（$\frac{1}{2}$×2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²）
联立解得，Q=$\frac{14}{25}$mgR
答：
（1）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小分别为$\frac{4}{5}$$\sqrt{2gR}$和$\frac{2}{5}\sqrt{2gR}$；
（2）棒cd在水平导轨上的最大加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$；
（3）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热是$\frac{14}{25}$mgR．

点评 本题是双杆切割类型，与非弹性碰撞问题类似，根据机械能守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律，并结合运动学进行处理．要有分析和处理综合题的能力．