题目内容
【题目】如图所示，一气缸放在大气中，大气压
，活塞质量
，面积
，活塞下连一弹簧，原长为
，劲度系数
，活塞与缸壁都不导热，而活塞与缸壁之间存在摩擦，旦大小恒为
．假设摩擦产生的热有一半被活塞下的气体吸收，活塞下有
的理想单原子气体，初态
，温度
℃，固定活塞，在活塞上放上质量为
的木块后，释放活塞（
取
），木块脱离活塞后不再回来，求：
（1）活塞上升达到的最大高度（相对于气缸底部）；
（2）活塞上升达到最大高度时气体的状态参量，即压强、体积、温度
【答案】（1）
(2) 气体的压强
，体积
，温度
℃．
【解析】
（1）设活塞至缸底的距离为
，以
、
、
表示气体的状态参量，则有
，
即
． ①
依题意，由热力学第一定律有
． ②
由①②两式可得
． ③
对上式考虑到初始条件，有
，即有
．
此式说明，气体在变化过程中，其压强保持不变，为等压道程．
对活塞与木块整体进行受力分析，其受力如图所示，有活塞在平衡位置时有
，
解得
． ④
活塞在分离木块位置时，活塞的加速度为
，此时应有
，
解得
． ⑤
由于
、
、
、
均为恒力，则系统的运动是在弹力作用的简谐运动，且
（木块脱离前），
（木块脱离后）． ⑥对气体的初态进行分析，有
，解得
．
所以，木块脱离前活塞振动的振幅为
．
则活塞用表示的振动方程为
．
于是
，
代入
，得
，
．
此后，振动的平衡位置发生变化，平衡位置满足
，解得
．
且新的振幅满足
．
故振动方程为
．
代入
时，
，得
．
又
，
当
时，
．
此时
，则活塞相对于气缸底部上升到达的总高度为
．
（2）活塞上升达到最大高度时，
气体的压强，
体积，
温度℃．
说明：对于本题的解答，如不能作出气体的变化过程是等压变化，那么，我们也许会经历如下的解答过程．
设开始时，弹簧的长度为
，则由克拉珀龙方程，有
，解得
．
释放活塞时，有
，即活塞会向上运动．
木块脱离活塞时，其应具有向下的加速度，设此时弹簧的长度为
，且
，气体的压强为
，温度为
，所以，对活塞有
．
对气体有
．
对系统有
．
此后，活塞继续上升，上升到最大高度时，设弹簧的长度为
，且
，气体的压强为，温度为，所以，对系统有
．
对气体有
．
至此，我们应该进入到解方程的阶段，但基本上会是无功而返．
