Question

20．倾角为37°的足够长光滑斜面上固定一个槽，劲度系数k=20N/m的轻弹簧上端与轻杆相连，下端与一质量m=1kg的小车相连，开始时，弹簧处于原长，轻杆在槽外的长度为l，且杆可在槽内移动，杆与槽间的最大静摩擦力大小f=8N，假设杆与槽之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现将小车由静止释放沿斜面向下运动，在小车第一次运动到最低点的过程中（已知弹性势能E_p=$\frac{1}{2}$kx²，式中x为弹簧的形变量．g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）当轻杆开始运动时，小车的速度有多大；
（2）为了使轻杆不被全部拽入槽内，求l的最小长度及在此长度下轻杆在槽内的运动时间．

Answer 1

分析 （1）轻杆开始运动时，弹簧对其拉力等于杆受到的最大静摩擦力；根据胡克定律列式求解弹簧的伸长量；根据功能关系列式求解小车的速度；
（2）杆被拉动后，根据牛顿第二定律列式求解加速度；此后小车和杆一起是匀减速直线运动，直到速度为零后被反向拉回；

解答 解：（1）轻杆开始运动时，弹簧对其拉力等于杆受到的最大静摩擦力，为：
F=f=8N；
根据胡克定律，有：
x=$\frac{F}{k}$=$\frac{8}{20}$=0.4m；
根据功能关系，有：
mgxsinθ-$\frac{1}{2}k{x}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：
v=0.4$\sqrt{10}$m/s
（2）杆刚滑动时，对整体由牛顿第二定律得物体的加速度：
mgsin37°-F=ma
解得：
a=-2m/s²
此后小车和杆一起是匀减速直线运动，直到速度为零后被反向拉回；
根据速度位移公式，减速位移为：
x₁=$\frac{{0}^{2}-{v}^{2}}{2a}$=$\frac{0-（0.4\sqrt{10}）^{2}}{2×（-2）}$=0.4m
故杆的长度至少为0.4m；
对物块分析得，平衡位置对应的弹簧伸长量为：$△x=\frac{mgsin37°}{k}$=$\frac{1×10×0.6}{20}=0.3m$；
故反向弹回后，球开始在平衡位置附近做简谐运动，振幅为0.1m，杆不再移动；
故杆滑动的时间：t=$\frac{0-v}{a}$=$\frac{0-0.4\sqrt{10}}{-2}=0.2\sqrt{10}$s，
答：（1）当轻杆开始运动时，小车的速度为0.4$\sqrt{10}$m/s；
（2）l的最小长度为0.4m，在此长度下轻杆在槽内的运动时间为0.2$\sqrt{10}s$．

点评 本题关键是明确小车和杆的受力情况和运动情况，根据牛顿第二定律和运动学公式列式求解，结合简谐运动的知识分析，不难．