题目内容
【题目】假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内。已知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s2，地球半径R0=6.37×106m，月球质量mm=7.3×1022kg，月球半径Rm=1.7×106m，引力恒量G=6.67×1011N·m2/kg2，月心地心间的距离约为rem=3.84×108m
(i)月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？
(ii)地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？
(iii)若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）？
【答案】(i) 27.4天 (ii) 29.6天 (iii) 2.3×103m/s
【解析】
(i)月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律有
(1)
另
(2)
月球绕地球一周的时间
(3)
解(1)、(2)、(3)三式得
(4)
代入有关数据得Tm=2.37×106s=27.4天 (5)
(ii)满月是当月球、地球、太阳成一条直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置。当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球的位置已运动到A'。若以T'm表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有
ωmT'm=2π+ωeT'm (6)
(7)
(8)
式中Te为地球绕太阳运动的周期，Te=365天。由(6)、(7)、(8)三式得
(9)
注意到(5)式，得T'm=29.6天 (10)
(iii)从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的连线，设在地月间某一点O处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力大小。以r表示O点到月球中心的距离，则有
(11)
式中m是火箭的质量。由(11)式得
(12)
解(12)式，注意到(2)式，代入有关数据，得r=3.8×107m (13)
从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O点，则过O点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小。设火箭刚到达月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有
(14)
解得
(15)
注意到(2)式，代入有关数据得v=2.3×103m/s (16)
评分标准：第(i)小问3分。求得(4)式得2分，求得(5)式得1分。第(ii)小问3分。求得(9)式得2分，求得(10)式得1分。第(iii)小问6分。(11)式2分，(14)式得2分，(16)式2分
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